Lefschetz properties of commutative algebras generated by relative invariants of prehomogeneous vector spaces

由预齐次向量空间的相对不变量生成的交换代数的 Lefschetz 性质

• 批准号: 22K03347
• 负责人: 和地 輝仁
• 金额: $ 0.92万
• 依托单位: Hokkaido University of Education
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03347/
• 关键词: 概均質ベクトル空間; レフシェッツ性; ゴレンスタイン環; 複素鏡映群; 相対不変式

本研究は、概均質ベクトル空間の相対不変式から生成されるアルチンゴレンスタイン環のレフシェッツ性の研究を行うが、まず、可換放物型放物型概均質ベクトル空間から生成される場合について、既存の結果を整理して論文の作成に着手した。これは、京都大学の大学院生であった長岡氏との共著論文となる予定であり、令和4年度中の投稿はかなわなかったが、令和5年度早々には投稿ができる予定である。また、他のどのような概均質ベクトル空間を研究するかに関わり、放物型ではないものも検討を開始した。具体的には、グラフのキルヒホッフ多項式であり、これは、対称行列の行列式を含むので、可換放物型と一部重複はあるが、まったく別の系列と言ってよい。令和4年度においては、どのようなグラフのキルヒホッフ多項式ならば何らかの概均質ベクトル空間の相対不変式になるかについて、十分条件は得ることができ、これが必要条件でもあることが予想できた。この研究は、城西大学小木曽氏、統計数理研究所中島氏と協力して行っており、令和4年12月に、城西大学小木曽氏、統計数理研究所中島氏とのこのテーマに関するセミナーを釧路で開催した。さらに、多項式から生成されるゴレンスタイン環のレフシェッツ性に関連して、複素鏡映群の余不変式環のレフシェッツ性に関するこれまでの結果を論文にまとめ、投稿するに至った。これは、計算機を活用した結果であり、計算機では計算しきれない大きな例1つだけが未証明で残っている。また、令和4年12月には、表現論シンポジウムの世話人を務めた。もう1人の世話人は上述の中島氏であった。本研究課題に関連する話題としては、中島氏の講演や、同じく上述した小木曽氏の講演があった。研究費を活用して、講演集の発行を行った。

在本研究中，我们将研究由近似齐次向量空间的相对不变量生成的 Arthur Gorenstein 代数的 Lefschetzian 性质。我们整理了现有结果并开始撰写论文。这是与京都大学研究生长冈先生共同撰写的论文，虽然无法在2020年提交，但预计在2020年初提交。另外，关于要研究的其他近似齐次向量空间，我们已经开始考虑非抛物线向量空间。具体来说，它是图的基尔霍夫多项式，由于它包含对称矩阵的行列式，因此可以说是完全不同的级数，尽管与交换抛物面有一些重叠。 2020年，我们能够获得任意图的基尔霍夫多项式在某个近似齐次向量空间中相对不变量的充分条件，并且我们能够预测这也是一个必要条件。这项研究是与城西大学小木曾先生和统计数学研究所中岛先生合作进行的，2020 年 12 月，与城西大学小木曾先生和统计数学研究所中岛先生在钏路举办了关于该主题的研讨会。中岛统计数学研究所举行。此外，关于多项式生成的Gorenstein环的Lefschetzian性质，我将之前关于复反射群的共变环的Lefschetzian性质的结果总结在一篇论文中并提交了。这是使用计算机的结果，只有一个计算机无法计算的重大例子尚未得到证实。此外，2020年12月，他担任表征理论研讨会的组织者。另一位管理员就是前面提到的中岛先生。与本研究课题相关的话题有中岛先生的讲座和上述提到的小木曾先生的讲座。使用研究经费出版了讲座集。