擬馴分岐ガロア拡大の岩澤理論と相互法則

岩泽理论与拟熟悉分岔伽罗瓦展开的互易律

基本信息

批准号：
22K03268
负责人：
水澤靖
金额：
$ 1.08万
依托单位：
Nagoya Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03268/
关键词：
代数的整数論岩澤理論ガロア理論擬馴分岐類体論

项目摘要

当研究課題の目的は、代数体の擬馴分岐副pガロア群の構造と種々の数論的不変量との関係性を精密に記述し、岩澤理論の未解決問題および相互法則の研究に応用することである。特にこの初年度の目標は、その関係性の明示的な記述と応用のための準備であった。そのために必要な群論的手法の調査と整理、および具体例の計算の準備を行い、研究計画の一部として以下を達成している。まず、小さな擬馴分岐副pガロア群の存在性について新しい知見を得た。有限p群の交換子群に関する定理を、古典的なものから発展的なものまで応用し、擬馴分岐副pガロア群の交換子群が小さな有限p群となる十分条件を与えた。この研究成果は、国内の研究セミナーにおいて発表した。次に、擬馴分岐副pガロア群の特別な場合である2上円分的分岐副2ガロア群の分岐条件を拡張し、岩澤加群の具体的計算への応用の準備を進めた。この拡張した分岐条件付き副2ガロア群の構造定理が得られれば、具体的計算の応用範囲も大きく拡張されることになる。さらに、岩澤理論の未解決問題（グリーンバーグ予想など）への擬馴分岐副pガロア群の応用について、数論トポロジーの視点から再考察した。特に、グリーンバーグ予想が肯定的となる十分条件を与えている古典的な定理に対して、その別証明を整理した。その考察と整理の過程で、枝分かれしていた幾つかのグリーンバーグ予想研究の方向性を統一する見方が得られた。この研究内容は、国外の国際研究集会にて発表した。

本研究项目的目的是精确描述代数域的准分叉亚p伽罗瓦群的结构与各种算术不变量之间的关系，并将其应用于岩泽理论和互易律中未解决问题的研究。这是有事可做。特别是，第一年的目标是明确描述这种关系并为其应用做好准备。为此，我们研究和组织了必要的群论方法，并准备了具体的算例计算，并作为我们研究计划的一部分实现了以下目标。首先，我们获得了关于小型伪熟悉亚 p 伽罗瓦群存在的新知识。应用有限 p 群的交换子群上的定理，从经典到高级，我们给出了伪熟悉的 subp Galois 群的交换子群是小的有限 p 群的充分条件。该研究成果在国内的一次研究研讨会上进行了介绍。接下来，我们扩展了双上循环分岔sub-2伽罗瓦群的分岔条件，该群是拟熟悉分岔sub-p伽罗瓦群的特例，为Iwasawa模应用于具体计算做好了准备。如果我们能够得到这个具有分支条件的亚2伽罗瓦群的扩展结构定理，那么具体计算的应用范围将大大扩展。此外，我们从数论拓扑的角度重新考虑了伪熟悉的sub-p伽罗瓦群在岩泽理论中未解决的问题（例如格林伯格猜想）中的应用。特别是，我组织了经典定理的替代证明，为格林伯格猜想的成立提供了充分的条件。在思考和整理的过程中，得出了一个观点，统一了几个有分歧的格林伯格猜想研究的方向。这项研究的内容已在日本以外的一次国际研究会议上发表。