Study of the topology and the combinatorics of polyhedral products

多面体积的拓扑和组合学研究

基本信息

批准号：
22K03284
负责人：
岸本大祐
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

ポリヘドラルプロダクトとは、抽象単体複体の組み合わせ情報をもとに通られた直積空間を貼り合わせて得られる空間である。例えば、座標空間配置やその補空間、トーリックトポロジーの中心的研究対象である（実）モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間はポリヘドラルプロダクトの例である。ポリヘドラルプロダクトのトポロジーの研究において重要なのは、もととなる抽象単体複体の組み合わせ構造とポリヘドラルプロダクトのトポロジカルな性質の間の対応関係を明らかにすることである。例えば、モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間のコホモロジーは抽象単体複体のStanley-Reisner環やその導来代数であることが知られており、ポリヘドラルプロダクトがトポロジー、組み合わせ論、可換環論とを結びつけることがわかる。ポリヘドラルプロダクトと元となる抽象単体複体の組み合わせ構造との関係を調べるために、入江幸右衛門氏とファットウェッジフィルトレーションの理論を構築し、その応用として様々な結果を上げてきた。その一つが、閉曲面の三角形分割がGolodであることの特徴づけである。抽象単体複体のGolod性は古くから研究されているが、その組み合わせ的特徴づけは知られていない。当該年度は、３次元多様体の三角形分割のGolod性に関する研究を、ファットウェッジフィルトレーションを用いて行った。微分幾何学におけるタイトな埋め込みの組み合わせ版として、タイトな抽象単体複体が定義され、多様体の三角形分割の極小三角形分割と関連して盛んに研究されている。当該年度行なった研究により、Golod性、タイト性、ファットウェッジフィルトレーションの自明性が３次元多様体の三角形分割に対して同値であることを証明した。この結果は全く出自の違う抽象単体複体の性質を結びつける重要なものである。

多面体积是根据抽象单纯复形的组合信息将直积空间粘贴在一起而获得的空间。例如，坐标空间配置、它们的互补空间、（实）矩角复合体（环面拓扑的中心研究对象）和 Davis-Januszkiewicz 空间是多面体乘积的示例。研究多面体积的拓扑结构，重要的是阐明底层抽象单纯复形的组合结构与多面体积的拓扑性质之间的对应关系。例如，矩角复形和 Davis-Januszkiewicz 空间的上同调被称为抽象单纯复形及其派生代数的 Stanley-Reisner 代数，多面体积可用于拓扑、组合学和交换环理论中。可见它们是相连的。为了研究多面体乘积与底层抽象单纯复形的组合结构之间的关系，我与入江小右卫门先生共同开发了脂肪楔形过滤理论，并在其应用中取得了各种成果。其中之一是封闭曲面的三角剖分是戈洛德（Golod）的表征。抽象单纯复形的戈洛迪性质已经被研究了很长时间，但其组合表征尚不清楚。今年，我们利用脂肪楔过滤对三维流形三角剖分的Golodian性质进行了研究。紧抽象单纯复形被定义为微分几何中紧嵌入的组合版本，并且与流形三角剖分的最小三角剖分相关联被积极研究。通过这一年的研究，我们证明了Golodianity、紧性和胖楔过滤的平凡性对于三维流形的三角剖分来说是等价的。这个结果很重要，因为它连接了具有完全不同起源的抽象单纯复形的属性。