代数的言語理論と類体論の融合研究

代数语言理论与类域论的融合研究

• 批准号: 22K03248
• 负责人: 浦本 武雄
• 金额: $ 2.25万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03248/
• 关键词: 類体論; 代数的言語理論; Witt vector; 決定可能性; CM体; Siegel modular variety; 志村相互律; 変形理論; 古典類体論; 明示的類体論; 非可換類体論; 計算理論

代表者のこれまでの研究で虚二次体K上の代数的Witt vectorが，Fricke関数族(上半平面上のモジュラー関数族)の特殊値から自然に構成されるmodular vectorによってK上生成されることを示していた(modularity theorem)．本研究課題の本年度の取り組みでは，その結果の自然な続編として，特に以下二つの結果を成果として挙げる事ができる．第一に，石塚裕大氏（九州大学），木村巌氏（富山大学）との共同研究(2021年度のIMI共同利用研究の後続研究)において，任意の類数の虚二次体上の代数的Witt vectorがいつintegralになるかの決定可能性を証明し，その判定アルゴリズムを与えた．類数１の場合は，石塚氏との共著論文として既にSCSS2021で提出していたが，その後，任意類数に拡張した．第二に，研究集会に呼んでいただいたことをきっかけとして，しばらく前に観察していたCM体へのmodularity theoremのある種の拡張の結果をまとめる機会を得て，証明等を整理した．技術的には楕円曲線をアーベル多様体に置き換えmodular vectorの類似をCM体に対しても構成し，どの代数的Witt vectorがmodular vectorから生成されるかを（ガロア対応を通して）特徴付けている．この観察の結果として，より一般の志村多様体上のモジュラー関数の場合への拡張や，非可換化に向けた方向性がより詳しく見えてきた．CM体の場合は，より一般の場合に向けた中間報告のようなものとして論文にまとめることを予定している．

在代表人之前的研究中，虚二次域K上的代数维特向量是由Fricke函数族（上半平面上的模函数族）的特殊值自然构造的模向量在K上生成的。 （模块化定理）。在今年的研究项目中，我们可以特别引用以下两个结果作为这些结果的自然延续。首先，在与 Hirohiro Ishizuka 先生（九州大学）和 Iwao Kimura 先生（富山大学）的联合研究（2021 年 IMI 联合使用研究的后续）中，我们研究了任意类的虚二次域上的代数方程我们证明了维特向量何时成为整数的可判定性，并提供了确定这一点的算法。对于第 1 类，我们已经在 SCSS2021 上作为与 Ishizuka 先生合着的论文提交，但后来我们将其扩展到任意类号。其次，由于我受邀参加一个研究会议，我有机会总结了我前一段时间观察到的模块化定理向CM领域的某种扩展的结果，并整理了证明。从技术上讲，我们用阿贝尔簇代替椭圆曲线，构造 CM 域的模向量的类比，并表征（通过伽罗瓦对应）哪些代数维特向量是从模向量生成的。作为这一观察的结果，我们更详细地看到了模函数在更一般的 Shimura 流形上的扩展以及非交换化的方向。就 CM 而言，我们计划将其汇编成一篇论文，作为更一般案例的中期报告。

项目成果

On the modularity theorem for algebraic Witt vectors

关于代数维特向量的模度定理

• 发表时间: 2023
• 作者: Takeo Uramoto