Study of generalized quantum groups by using Weyl groupoids

利用Weyl群形研究广义量子群

基本信息

批准号：
22K03225
负责人：
山根宏之
金额：
$ 2.5万
依托单位：
University of Toyama
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

Kを体とする。ホップ代数Hとは、代数の群の公理を代数的に拡張した概念である。ホップ代数は環であるが体K上のベクトル空間でもあるので結合的K代数である。さらに、その双対の構造も代数的な構造が入り、それはテンソル積H\otimes Hの構造を通して公理化されている。HをK上のホップ代数とする。H\otimes Hの元Rを（小さな）R-行列とする。そのようなRを用いてHに別のホップ代数の構造を入れることが出来る。それをホップ代数のねじれ化という。Hが有限次元のときはRは有限和で表せるので、ねじれ化の操作は数学的に問題は生じない。しかし、Hが無限次元でRが（仮想的には）無限和であるときは、その無限和を正当化するために、Hを修正する必要がある。ホップ代数である量子群U_qのときには、U_qのh-進位相の下での完備化であるドリンフェルドのh-進位相的量子群U_hを考えることによってねじれ化は数学的に意味を持つ。またU_q自身のウェイトに対する位相を考えてねじれ化を数学的に意味を持たせることも知られている。本研究ではUqの多変数化の拡張である一般化された量子群U(\chi)に対してウェイトに対する位相を考えてねじれ化を研究した。とくにU(\chi)がアフィンA^(1)_1型のときのU(\chi)の普遍R-行列の構成のためにそれを研究した。応用のためにU(\chi)のウェイトに対する位相およびh-進位相を同時に考える必要がある。U(\chi)にはWeyl亜群が構造が付随している。大学院修士課程の学生と共同でU(\chi)に付随していないWeyl亜群のケーレーグラフのハミルトン閉路の研究を行った。

设 K 为主体。霍普夫代数 H 是代数群公理的代数扩展。 Hopf代数是一个环，但它也是域K上的向量空间，因此它是一个结合的K-代数。此外，它的对偶结构还具有代数结构，通过张量积 H\otimes H 的结构将其公理化。设 H 是 K 上的 Hopf 代数。设 H\otimes H 的元素 R 是一个（小）R 矩阵。使用这样的R，我们可以将另一个Hopf代数结构插入到H中。这称为霍普夫代数的扭曲。当H具有有限维数时，R可以表示为有限和，因此扭转操作不存在数学问题。然而，当 H 具有无限维且 R（实际上）是无限和时，有必要修改 H 以证明无限和的合理性。当量子群 U_q 是 Hopf 代数时，通过考虑 Drinfeld 的 h 进拓扑量子群 U_h，扭曲在数学上变得有意义，这是 U_q 在 h 进拓扑下的完成。还知道，通过考虑 U_q 自身权重的拓扑，可以赋予扭曲数学意义。在这项研究中，我们通过考虑权重的拓扑来研究广义量子群 U(\chi) 的扭曲，它是多变量 Uq 的扩展。特别是，我们研究了当 U(\chi) 为仿射 A^(1)_1 类型时 U(\chi) 的通用 R 矩阵的构造。对于应用来说，需要同时考虑U(\chi)权重的相位和h-adic相位。 U(\chi) 具有附加的 Weyl 子群结构。我与研究生院硕士生合作，对不附属于 U(\chi) 的 Weyl 子群的 Köhle 图的哈密顿循环进行了研究。