Discrete integrable systems and Diophantine problems

离散可积系统和丢番图问题

基本信息

批准号：
21K18577
负责人：
伊藤哲史
金额：
$ 4.16万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21K18577/
关键词：
ディオファントス問題アーベル多様体離散可積分系

项目摘要

本研究課題では、状態遷移が離散的な系である離散可積分系を代数多様体の有理点と結びつけることでディオファントス問題に応用する。また、ディオファントス問題に関する数論の知見を応用して離散可積分系の性質の解明に挑戦する。従来は別々の研究対象として考えられていた離散可積分系とディオファントス問題を、一つの数学的対象・現象の異なる側面としてとらえて研究を進める。本年度はソモス型と呼ばれる具体的な漸化式で定まる数列と、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体の有理点の関係について研究を行った。カンターの等分多項式の性質を応用することで、特別なパラメータのソモス型数列に対し、その法p周期と有限体上の有理点の周期の間の関係を示すことができた。この結果は、楕円可除列(elliptic divisibility sequence)と呼ばれる数列と楕円曲線の有理点の関係の種数2類似と考えることができる。本年度の研究により、超楕円曲線の等分多項式は、ソモス型数列よりも多くの情報を持っていることが明らかになった。幾何的な研究をさらに進めるには、離散可積分系に付随するラックス対から定まる代数曲線上の連接層を計算する必要があると考えられるため、次年度も継続して研究を行う。また、前年度の研究で観察された、アーベル多様体を用いても現時点では説明できない性質を持つソモス型数列については、追加で数値実験を行うなど、継続して研究を行った。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度もさらに継続して研究を行う予定である。

在这个研究项目中，我们将通过将离散可积系统（其中状态转换是离散的）连接到代数簇的有理点来应用它们来解决丢番图问题。我们还将尝试通过应用有关丢番图问题的数论知识来阐明离散可积系统的性质。我们将通过将离散可积系统和丢番图问题视为单个数学对象或现象的不同方面来进行研究，这两个问题以前被认为是单独的研究主题。今年，我们研究了由称为Somos型的特定递推公式确定的数列与2格超椭圆曲线的雅可比流形有理点之间的关系。通过应用坎特赤道多项式的性质，我们能够展示特殊参数的 Somos 型序列的模 p 周期与有限域上有理点的周期之间的关系。这个结果可以被认为是称为椭圆整除序列的序列与椭圆曲线有理点之间关系的属 2 模拟。今年的研究表明，超椭圆曲线的赤道多项式比 Somos 序列包含更多信息。为了进一步推进我们的几何研究，我们认为有必要计算由与离散可积系统相关的勒克斯对确定的代数曲线上的连接滑轮，因此我们将在明年继续这项研究。此外，我们通过对索莫斯型序列进行额外的数值实验来继续我们的研究，该序列在前一年的研究中观察到，并且具有目前无法使用阿贝尔簇解释的属性。由于似乎存在尚未阐明的隐藏现象，我们计划明年继续研究。