汚染物質の拡散の推定と予測のための逆問題の数学手法の開拓

开发反问题的数学方法来估计和预测污染物扩散

基本信息

批准号：
21K18142
负责人：
山本昌宏
金额：
$ 15.89万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

令和 4 年度はコロナの感染状況が好転し、計画していた出張や研究打合せが完全でないもののかなりの程度まで回復した。そのような状況を受けて以下のように本研究を遂行した。（１）土壌中の汚染物質の拡散などの現象は、不均質媒質中の特異拡散ととらえることができる。そのためのモデル式は色々提案されているが、ここでは時間方向に履歴の効果を考慮した非整数階拡散方程式を主要なモデル式としている。方程式は非整数階微分を含むので、伝統的な微分積分学の枠組みではなく非整数階微分積分学を近代的な関数解析的な偏微分方程式論に見合う形で完成させる必要がある。そのような基礎付けは必ずしも一通りとは限らないが、近代的偏微分方程式論に適合し、そのうえで応用にも適した理論を独自に構築し、公表した。（２）そのようなアプローチを補完するものとして、より作用素論に基づいた非整数階偏微分方程式論をナンシー・ロレーヌ大学（フランス）の Mourad Choulli 教授と今年度も遂行した。（３）本課題の遂行のためには、モデル式の物理パラメータの定量的な推定のために、方程式の係数やソース項を解の限定された情報で決定するという逆問題が必要不可欠になる。非整数階偏微分方程式の逆問題は現象の多様性を直接反映し、多岐にわたる。そのような逆問題について連続講義をバーリ（イタリア）で行い、研究計画の今後のグランドデザインの展望を示した。（４）非整数階偏微分方程式の非線形理論の構築を開始した。

2020财年，冠状病毒感染情况有所好转，计划中的出差和调研会议虽然没有完全完成，但已经有了相当程度的恢复。针对这种情况，本研究开展如下。 (1) 污染物在土壤中的扩散等现象可以视为非均质介质中的奇异扩散。为此，人们提出了各种模型方程，但这里的主要模型方程是考虑历史在时间方向上的影响的非整数阶扩散方程。由于方程中包含非整数阶微分，因此需要以与现代偏微分方程泛函解析理论兼容的形式来完成非整数阶微分和积分计算，而不是使用传统的微分和积分框架结石。虽然这样的基础不一定是一刀切的，但他发展并发表了自己的理论，该理论与现代偏微分方程理论兼容，也适合应用。（2）作为这种方法的补充，今年我们还与法国南锡洛林大学的Mourad Choulli教授合作研究基于算子理论的分数阶偏微分方程理论。 (3) 为了完成这项任务，为了定量估计模型方程的物理参数，需要使用有限的解信息来确定方程的系数和源项。分数阶偏微分方程的反问题多种多样，直接反映了现象的多样性。我在意大利巴里做了一系列关于此类反问题的讲座，并对研究项目未来的宏伟设计进行了展望。 (4)我们开始构建分数阶偏微分方程的非线性理论。