志村曲線の数論幾何と保型形式のｐ進Ｌ関数

Shimura曲线的算术几何和自守形式的p进L函数

基本信息

批准号：
18J01237
负责人：
太田和惟
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Osaka University (2020)Keio University (2018-2019)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

志村曲線やモジュラー曲線の CM 点などに付随する特別な代数的サイクルについての数論幾何的な研究を行った。特に、それらを用いて、素数 p が惰性する虚二次体でCMをもつ楕円曲線に対する反円分拡大の岩澤理論に関する共同研究を行った（九州大学の小林真一氏とカリフォルニア工科大学の Ashay Burungale 氏との共同研究）。素数 p が分裂する場合の CM 楕円曲線の岩澤理論は、ordinary 表現 (あるいはより一般にPanchishkin 表現)という場合の岩澤理論に該当し、さまざまな先行研究がなされており、一般的な予想が部分的に定式化されるなど理解が進んでいる。しかしながら、p が惰性する場合は全く異なる現象が起き、ordinary 表現の場合の岩澤理論の枠組みでは捉えきれないだけでなく、整数性の崩れなどの多くの困難が現れる。より一般的な設定での岩澤理論的現象を理解するために、惰性的素数に対するCM楕円曲線の場合を最初のステップとして研究することは非常に重要であると考える。本年度は、惰性的素数におけるCM 楕円曲線の反円分岩澤理論の先駆的研究を行った Rubin が予見していたある種の局所単数群の構造定理を証明することに成功した。これの一つの応用として、Agboola-Howard が仮定付きで証明した岩澤主予想の仮定が必要なくなった。また、カリフォルニア大学サンタバーバラ校で行われている Seminar on Geometry and Arithmetic で、本年度得られた成果について講演した（オンラインでの講演）。

我对与志村曲线和模曲线的 CM 点相关的特殊代数环进行了算术和几何研究。特别是，我们利用它们对质数 p 为惰性的虚二次域中 CM 椭圆曲线的岩泽反圆展开理论进行了联合研究（九州大学的 Shinichi Kobayashi 和加州理工学院的 Ashay Burungale））与先生共同研究。素数 p 分裂时的 CM 椭圆曲线的 Iwasawa 理论对应于普通表示（或者更一般地说，Panchishkin 表示）情况下的 Iwasawa 理论，并且之前已经进行了各种研究，并且一般猜想已得到部分确认。然而，当p为惰性时，会出现完全不同的现象，这不仅无法在普通表示的情况下在岩泽理论的框架内捕获，而且还带来许多困难，例如整数性崩溃。为了在更一般的背景下理解 Iwasawa 理论现象，我们认为首先研究惯性素数的 CM 椭圆曲线的情况非常重要。今年，我们成功证明了鲁宾预见的一类局部奇异群结构定理，鲁宾对惯性素数CM椭圆曲线的反圆岩泽理论进行了开创性的研究。其应用之一是不再需要阿格博拉-霍华德用假设证明的岩泽主猜想的假设。他还在加州大学圣塔芭芭拉分校举办的几何与算术研讨会（在线讲座）上就今年取得的成果做了演讲。