共形場理論とゲージ理論の代数的解析

共形场论和规范论的代数分析

基本信息

批准号：
18J00754
负责人：
大久保勇輔
金额：
$ 2.33万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

Toda systemのq-類似は量子群の表現論との繋がりの中で研究されてきた。特にq-戸田差分作用素の固有関数（q-戸田関数）はVerma module のWhittakerベクトルを用いて構成することができる。また旗多様体の量子コホモロジーや、アフィンDemazure加群の指標とも深い関係があり、Macdonald関数の退化極限としても与えられる。今年度は星野氏, 白石氏によって予想されたB型のq-戸田関数の明示公式を証明した。この明示公式はB型のq-戸田関数をA型のq-戸田関数で展開する分岐公式とみなせる。証明はA型q-戸田関数の隣接関係式（q-超幾何級数のそれと似た関係式）を構成し、分岐係数の漸化式を立てることによって与えることができる。他の型における類似の公式や、この分岐公式のMacdonald関数への持ち上げについても興味があるが未だ見つかっていない。さらに今年度は、高次のKoornwinder作用素の自由場表示やSergeev-Veselovのdeformed Macdonald多項式のDing-Iohara-Miki代数による構成や明示式についても考察した。1次のKoornwinder作用素の自由場表示については、すでに構成できているが、高次の作用素についてはパラメータa,b,c,dが退化している時の予想があるのみで、証明にまで至っていない。パラメータが一般の場合には一般的な予想はないが、２次の作用素については予想ができている。A型Macdonald作用素の自由場表示とは異なり、BC型(Koornwinder作用素)の場合は極が複雑に現れるため、それらの法則をうまく処理する必要があり、それらの解析を行った。

Toda 系统的 q 类比已经与量子群的表示论联系起来进行了研究。特别地，q-Toda差分算子的本征函数（q-Toda函数）可以使用Verma模块的Whittaker向量来构造。它也与旗流形的量子上同调和仿射 Demazure 模的指数密切相关，并且也作为 Macdonald 函数的简并极限给出。今年，我们证明了星野先生和白石先生猜想的B型q-户田函数的显式公式。这个显式公式可以看作是用A型q-Toda函数扩展B型q-Toda函数的分支公式。证明可以通过构造A型q-Toda函数的邻接关系表达式（类似于q-超几何级数的关系表达式）并建立分叉系数的递推公式来给出。我也对其他类型的类似公式以及将此分支公式提升为麦克唐纳函数感兴趣，但我还没有找到。此外，今年，我们还考虑了高阶 Koornwinder 算子的自由场表示、使用 Ding-Iohara-Miki 代数构建 Sergeev-Veselov 变形 Macdonald 多项式以及显式公式。一阶Koornwinder算子的自由场表示已经构造出来，但对于高阶算子，只有参数a、b、c、d退化时的猜想，但尚未得出证明。不存在。当参数通用时，无法进行通用预测，但可以对二次算子进行预测。与 A 型 Macdonald 算子的自由场表示不同，BC 型（Koornwinder 算子）的情况下，极点以复杂的方式出现，因此需要很好地处理这些定律，我们对其进行了分析。