双曲コクセター多面体の実現可能性と増大度

双曲考克塞特多面体的可行性和生长

基本信息

批准号：
17J05206
负责人：
雪田友成
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J05206/
关键词：
双曲多面体コクセター群離散群局所剛性増大度 Perron数

项目摘要

双曲空間内の有限個の閉半空間の共通部分であり、内部が空でないものを双曲多面体という。双曲多面体の面同士のなす角が、2以上の自然数nを用いてπ/nと表される時、双曲コクセター多面体という。双曲コクセター多面体の面に関する鏡映は、双曲空間の等長変換からなる離散部分群を生成することが知られている。こうして得られる離散群を双曲コクセター群という。本年度は、双曲コクセター多面体の実現可能性と関連して、双曲コクセター群の局所剛性についての研究を行った。双曲空間の等長変換群 G と、Gの離散部分群Γに対して、ΓからGへの群準同型写像の全体Hom(Γ, G)をΓの表現空間という。G はHom(Γ, G)に共役として作用し、その下で包含写像のGによる軌道が開集合となるときΓは局所剛性を持つという。Kerckhoff-Stormにより、5次元以上の測地境界を持ち体積有限な完備双曲多様体の基本群は局所剛性を持つと予想されている。5次元の場合に、Kerckhoff-Stormの予想を満たす双曲多様体の初めての例が得られた。構成のアイデアは、Kolpakov-Slavichによる双曲コクセター多面体の彩色を用いた双曲多様体の構成から、双曲多様体の局所剛性を双曲コクセター群の局所剛性に帰着させたことである。また、G-S.Lee, L.Marquis, S.Rioloらとの共同研究により、4次元の場合に局所剛性を持たない双曲コクセター群を構成した。特に、彩色を用いた双曲多様体の構成により、２つの完備体積有限な4次元双曲多様体を繋ぐ、4次元コンパクト双曲錐多様体の変形族を構成した。この結果は4次元での双曲Dehn充填と呼ぶべきものとなっている。

双曲空间中有限个闭半空间的公共部分，内部不为空，称为双曲多面体。当双曲多面体的面之间的角度使用大于或等于2的自然数n表示为π/n时，称为双曲考克塞特多面体。众所周知，双曲考克塞特多面体面上的反射会产生由双曲空间的等距变换组成的离散子群。这样得到的离散群称为双曲Coxeter群。今年，我们对双曲 Coxeter 群的局部刚度与双曲 Coxeter 多面体的可行性进行了研究。对于双曲空间的等距变换群 G 和 G 的离散子群 Г，从 Г 到 G 的群同态的整个 Hom(Г, G) 称为 Г 的表示空间。 G 充当 Hom(Γ, G) 的共轭，并且当包含映射的 G 的轨道是其下的开集时，称 Γ 具有局部刚性。 Kerckhoff-Storm 猜想具有 5 维或更多测地线边界和有限体积的完全双曲流形的基本群具有局部刚性。在五维情况下获得了满足 Kerckhoff-Storm 猜想的双曲流形的第一个例子。构造的思路是利用双曲 Coxeter 多面体的 Kolpakov-Slavich 着色构建双曲流形，将双曲流形的局部刚度降低为双曲 Coxeter 群的局部刚度。此外，通过与G-S.Lee、L.Marquis和S.Riolo的联合研究，我们构造了一个在四维情况下不具有局部刚度的双曲Coxeter群。特别是，通过使用着色构建双曲流形，我们构建了一个 4 维紧致双曲锥流形的变形族，它将两个具有有限完整体积的 4 维双曲流形连接起来。该结果可称为四维双曲 Dehn 填充。