Ｇａｕｓｓ－Ｍａｎｉｎ系の代数解析学の深化

深化高斯-马宁系统的代数分析

基本信息

批准号：
17J03916
负责人：
松原宰栄
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Kobe University (2018)The University of Tokyo (2017)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

1.Euler-Laplace積分表示と交点理論:Euler型積分表示とLaplace型積分表示の補間に当たる積分表示として以前申請者が導入したEuler-Laplace型積分表示がある。この積分表示はとあるD加群の順像(Laplace-Gauss-Manin系)として記述されることが昨年度までにわかっていた。本年度はLaplace-Gauss-Manin系の生成元を記述し、この応用としてLaplace-Gauss-Manin系に付随する急減少ホモロジー群とGKZ系の解空間の同型対応を確立した。その際のコンパクト化にはA.Esterov, A.G.Khovanski,松井優、竹内潔らのtoric compact化をより一般化した構成を用いる。また、昨年度に構成したEuler型積分表示に付随した積分サイクルの基底は交点理論的に良い性質を持つことが確認された。積分サイクルの基底は正則三角形分割Tによって構成されるが、特にTが単模の場合には交点行列が完全に決定される。これをねじれ周期関係式に適用し、Aomoto-Gelfand超幾何函数の二次関係式の閉じた公式を得た。上述の成果はarXiv:1904.00565にまとめられている。2.Cohomology交点数を計算するアルゴリズム:神戸大学の高山信毅氏との共同研究により、1の研究に基づきcohomology交点数を計算するアルゴリズムを考案した。このアルゴリズムは、cohomology交点数をあるPfaff系の有理函数解として定数倍を除いて特徴付け、1の結果を応用して定数倍を決定するという手順を踏む。このアルゴリズムの応用として、志賀弘典氏、成宮氏らにより議論されたK3曲面の族の周期積分に付随した超幾何函数の二次関係式を得た。この成果はarXiv:1904.01253にまとめられている。

1.Euler-Laplace积分表示和交集理论：有Euler-Laplace积分表示，它是申请人先前介绍的积分表示，是Euler型积分表示和Laplace型积分表示之间的插值。直到去年才知道，这种积分表示可以描述为某个 D 模块的正向图像（拉普拉斯-高斯-马宁系统）。今年，我们描述了Laplace-Gauss-Manin系统的生成器，并作为其应用，在与Laplace-Gauss-Manin系统相关的快速递减同调群与GKZ系统的解空间之间建立了同构对应关系。对于压缩，我们使用 A.Esterov、A.G.Khovanski、Masaru Matsui 和 Kiyoshi Takeuchi 提出的更通用的环面压缩版本。此外，还证实了去年构建的欧拉型积分表示的积分循环基础在交集理论方面具有良好的性质。积分循环的基础由正则三角剖分T构成，特别是当T很简单时，交集矩阵是完全确定的。通过将其应用于扭转周期关系，我们得到了 Aomoto-Gelfand 超几何函数二次关系的闭合公式。上述结果总结在 arXiv:1904.00565 中。 2、计算上同调交点数的算法：通过与神户大学Nobutoshi Takayama的共同研究，我们在1的研究基础上设计了一种计算上同调交点数的算法。该算法将上同调交点的个数表征为某个Pfaff系统的有理函数解，排除常数乘法，并用1的结果来确定常数乘法。作为该算法的应用，我们得到了 Hironori Shiga 和 Narimiya 等人讨论的与 K3 曲面族周期积分相关的超几何函数的二次关系表达式。这项工作在 arXiv:1904.01253 中进行了总结。