Studies on spreading fronts in reaction-diffusion systems and related free boundary problems

反应扩散系统中的扩散前沿及相关自由边界问题的研究

基本信息

批准号：
17F17021
负责人：
俣野博
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Meiji University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17F17021/
关键词：
解析学非線形拡散方程式定性的理論進行波交点数非増大則

项目摘要

【前半】 Ding氏と俣野は，29年度から共同で研究を進めていた，時間周期的な係数をもつ R 上の半線形拡散方程式の定性的性質に関する論文を完成させた．論文の具体的内容は，コンパクトな台をもつ初期値から出発した非負解のダイナミクスの完全な分類である．この研究により，係数が時間変数に依存しない自励系の場合と類似した結果が時間周期系に対しても成り立つことがわかったが，時間周期解の構造は定常解の構造よりはるかに複雑であるので，証明は格段に困難であった．しかし，交点数非増大則と無限次元力学系の理論を巧妙に組み合わせた議論を何層にも展開して，この困難を克服することができた．（Journal de Mahematiques Pure et Appliques に投稿済み．）【後半】Ding氏と俣野は，上と同じ時間周期的な係数をもつ R 上の半線形拡散方程式を考察し，別の角度から，解の漸近挙動を論じた．詳しく述べると，上記の研究では解の漸近挙動を通常のω極限集合の概念を用いて論じたのに対し，この研究では，ω極限集合の概念を広げた「拡張ω極限集合」なるものを用いて論じている点が異なる．両者の違いは，ω極限集合が，空間領域の固定した位置から解の長時間経過後の挙動を観察するのに対し，Ω極限集合では，空間内を自由に移動する観測者から見える挙動の全体を考える点にある．多重安定な非線形項をもつ方程式の場合，速度が異なる複数の波面が一つの解の中に併存することがあるが，Ω極限集合を用いると，それらすべてを把握することが可能となる．この研究により，空間周期的な非線形項をもつ方程式に対して，係数が時間に依存しない方程式に対して知られている「進行テラス解」の理論と同様の結果が成り立つことを示すことができた．なお，この研究においても，交点数非増大則が中心的な役割を演じた．（論文は完成しており，投稿準備中．）

[上半场] 丁先生和Matano完成了一篇关于带有时间周期系数的R半线性扩散方程的定性性质的论文，这是他们自2011年以来一直合作的论文。论文的具体内容是通过一个紧凑的平台从初始值开始对非负解的动力学进行完整的分类。本研究发现，与系数不依赖于时间变量的自激系统类似的结果也适用于时间周期系统，但时间周期解的结构比稳态解复杂得多，因此，证明极其困难。然而，我们能够通过发展多层论证来克服这个困难，这些论证巧妙地将交点数量不增加定律和无限维动力系统理论结合起来。（已投稿给Journal de Mahematiques Pure et Appliques。）【下半场】Ding先生和Matano考虑了与上述相同时间周期系数的R上的半线性扩散方程，并从不同的角度，我们讨论了其行为。具体来说，在上述研究中，解的渐近行为是使用通常的 ω 极限集的概念来讨论的，而在本研究中，我们将 ω 极限集的概念扩展到“扩展 ω 极限集”。区别在于使用和讨论的要点。两者之间的区别在于，ω 极限集从空间中的固定位置观察很长时间后解的行为，而 Ω 极限集观察解的行为，就像在空间中自由移动的观察者所看到的那样重点是要考虑整体。对于具有多稳态非线性项的方程，具有不同速度的多个波前可能共存于一个解中，但使用 Ω 极限集可以掌握所有这些波前。通过这项研究，我们能够证明，对于具有空间周期性非线性项的方程，类似于系数不依赖于时间的方程的“渐进露台解”理论的结果成立。此外，交叉点数量不增加规律在本研究中也发挥了核心作用。（论文已完成，正在准备提交。）