双曲的代数曲線の数論

双曲代数曲线数论

基本信息

批准号：
16J02375
负责人：
南出新
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

平成28年度は、星裕一郎氏、望月新一氏と共同で、双曲的曲線の配置空間の遠アーベル幾何について研究を行った。具体的には、例えば、以下のような結果を得た。(1) Xを標数0の代数閉体上の双曲的曲線とする。この時、Xの配置空間のエタール基本群を「入力」すると、配置空間の次元、（そして、次元が2以上の場合、）Xの種数、Xのカスプの数を「出力」するような群論的復元アルゴリズムを構成した。(2) (1)のアルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（望月新一氏、玉川安騎男氏によって示されていた）「非(0,3)、(1,1)型配置空間群のファイバー部分群の群論性」である。一方、(0,3)、(1,1)型の場合、この「群論性」については、反例があることが知られていた。それは、(0,3)、(1,1)型の場合、（高次元）配置空間から（低次元）配置空間への「射影」が増えることに起因していた。そこで我々は、この「増えた射影」を考慮に入れた、「一般化ファイバー部分群」という概念を導入した。そして、「（任意の）配置空間群の一般化ファイバー部分群の群論性」を証明した。また、この応用として、「(0,3)型（高次）配置空間群の外部自己同型群がグロタンディーク・タイヒミューラー群と対称群の直積に分解する」という大変興味深い帰結を得た。さらに、この直積分解を活用することで、グロタンディーク・タイヒミューラー群の簡明な別定義を導出することができた。(3) (1)の（特に、次元の復元の）アルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（自明な対数構造付きの）標数0の代数閉体上の平滑対数曲線の対数的配置空間の対数的充満点の概念である。このような「点」は対数的配置空間の対数的エタール基本群のある部分群（＝対数的充満部分群）を定める。我々は、対数的配置空間の次元が3以上の場合、このような部分群が群論的であることを証明した。

2016年，我与Yuichiro Hoshi和Shinichi Mochizuki合作研究双曲曲线配置空间的远阿贝尔几何。具体而言，例如得到以下的结果。 (1) 令 X 为特征为 0 的代数闭域上的双曲曲线。此时，如果我们“输入”X的构型空间的Etard基本群，我们就可以“输出”构型空间的维数，（如果维数为2或更大）构建了重建算法。 (2) 在(1)的算法中起重要作用的是非(0,3)、(1,1)配置空间（如望月新一和玉川明夫所示）“纤维子群的群论”。团体”。另一方面，在(0,3)型和(1,1)型的情况下，已知存在该“群论性”的反例。这是由于在 (0,3) 和 (1,1) 类型的情况下，从（高维）配置空间到（低维）配置空间的“投影”数量增加。因此，我们引入了“广义纤维子群”的概念，将这种“增加的投影”考虑在内。然后他证明了“（任意）构型空间群的广义纤维子群的群论”。另外，作为其应用，我们得到了一个非常有趣的结论：“(0,3)型（高阶）构型空间群的外自同构群分解为 Grothendieck-Teichmuller 群和对称群。”此外，通过利用这种直接乘积分解，我们能够导出 Grothendieck-Teichmuller 群的一个简单的替代定义。 (3) 特征 0 的代数闭域（具有平凡对数结构）上的平滑对数曲线的对数星座空间在（1）中的算法中起着重要作用（特别是对于维数恢复），这就是对数的概念。丰满度。这样的“点”定义了对数配置空间的对数Etard基本群的某个子群（=对数填充子群）。我们证明，如果对数配置空间的维数为 3 或更大，则此类子群是群论的。