Isotopy invariants of surface knots

表面结的同位素不变量

基本信息

批准号：
16J01183
负责人：
石川勝巳
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度ではまず前年度の研究の続きとして、交代結び目のAlexander多項式の零点に関するHosteの予想について平澤美可三先生（名古屋工業大学）・鈴木正明先生（明治大学）と共同研究を行い、前年度までに存在がわかっていた予想に対する反例を具体的に見つけることに成功した。反例の発見とそれが本当に反例であることの証明にはコンピュータを用いたが、数学的厳密さを欠くことなく証明することができた。また同様に前年度の研究の続きとして、曲面絡み目に対するMilnor不変量も、１次元絡み目に対するものと同様に、曲面絡み目のlink-cobordism不変量になっていることを証明した。別方向の研究として、ハンドル体結び目に対するカンドルを用いた不変量に関して研究を行った。特に、これまで知られていたMCQ (multiple conjugation quandle)由来の不変量を含む形で統括する、ハンドル体結び目の基本「カンドル」を定義し、さらにこれがハンドル体結び目の（種数１の場合は弱い意味での）完全不変量であることを証明した。ただしここでの「カンドル」とは通常の意味でのカンドルに、ハンドル体結び目の図式でいうところの３価頂点に対応する情報を付加したもののことである。さらに初年度から行っていたsmooth quandleについての研究を進め、本年度では特に推移的とは限らない一般のsmooth quandleについて考え、その軌道分解に現れる各軌道はLie群を用いた３つ組を用いて表されるきれいな形をしたsmooth quandleであることを示した。これは初年度に於ける推移的な場合の結果を含んでおり、その拡張と言えるものである。そのほか、トーラス絡み目の整数彩色に関する研究（市原一裕先生（日本大学）・松土恵理さん（日本大学）との共同研究）や、有限型不変量の可逆判定性に関する研究を行い、それぞれ一定の結果を得た。

今年，作为去年研究的延续，我们与名古屋工业大学教授 Mikazo Hirasawa 和明治大学教授 Masaaki Suzuki 共同研究了关于具有交替结的亚历山大多项式的零点的 Hoste 猜想。成功地找到了已知存在的猜想的具体反例。使用计算机发现反例并证明它确实是反例，并且证明的实现不缺乏数学严谨性。同样，作为前一年研究的延续，我们证明了弯曲链接的 Milnor 不变量也是弯曲链接的链接共边不变量，类似于一维链接。作为不同方向的研究，我们对使用手柄的手柄体结的不变量进行了研究。特别是，我们为句柄体结定义了一个基本的“quandle”，其中包括从先前已知的 MCQ（多重共轭 quandles）导出的不变量，此外，我们证明了它是一个完整的不变量（在弱意义上）。然而，这里的术语“蜡烛”是指通常意义上的蜡烛，添加了对应于手柄体结图中的三价顶点的信息。此外，我们继续了自第一年以来一直在进行的平滑四维数的研究，今年我们将考虑不是特别传递的一般平滑四维数，并且轨道分解中出现的每个轨道将使用三元组来计算：李群被证明是一个形状漂亮的光滑的圈子。这包括第一年传递情况的结果，并且可以被视为其扩展。此外，我们还进行了环面链接的整数着色研究（与Kazuhiro Ichihara教授（日本大学）和Eri Matsudou（日本大学）共同研究），以及有限类型不变量的可逆确定性研究，获得了结果。