モデル構造を用いた高次圏の理論による圏化の研究

基于高阶范畴论的模型结构分类研究

基本信息

批准号：
15J07641
负责人：
吉田純
金额：
$ 1.6万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度、圏のグラフィカル計算を幾何学的側面から記述できることを示した。具体的には、1次元の部分多様体を持つ2次元のコボルディズムのなす対称モノイダル圏の、ある部分構造の代数的記述が、代数的な圏のグラフィカル計算を与えることがわかった。この結果を高次の代数構造に持ち上げるため、本年度は次の二つの拡張を考えた。まず、上記のグラフィカル計算では、種数0の曲面上のオペレーションしか認めていなかったが、一般の種数を持つ場合に拡張した構造を考えた。これは、通常のグラフィカル計算に、付加的な対称性を課したものだと考えられ、例えば対称 pivotal 圏と呼ばれる代数構造は、この一般の種数を持つグラフィカル計算の例になる。一方、この他にも例はあり、その高次代数的な記述を得るために、モノイダル圏の対称性を研究した。これに関しての先行研究として、群オペラッドという概念が考えられていたが、これをより柔軟にしたものとして、crossed interval group に着目し、その分類を与え、その圏が表現可能であることを示した。さらに crossed simplicial group から crossed interval group を自由に生成する関手を構成し、具体的記述を与えた。これにより crossed simplicial group に関する多くの先行結果を crossed interval group の言葉によってモノイダル圏の対称性の中で論じることができるようになると期待される。別の拡張として、∞圏でのグラフィカル計算を考えた。具体的には、グラフィカル計算のオペラッドがコボルディズムから得られたことを利用し、これらの高次の情報を込めて代数的な記述を与えることができた。また、対称 pivotal ∞圏が例になることを示した。旅費を使い、いくつかの国際研究集会で発表した。

去年，我们展示了可以从几何角度描述类别的图形计算。具体来说，我们发现具有一维子流形的二维共流形的对称幺半群范畴的某个子结构的代数描述给出了代数范畴的图形计算。为了将这个结果提升到高阶代数结构，我们今年考虑了以下两个扩展。首先，上面的图形计算只允许在属 0 的表面上进行操作，但我们考虑了针对一般属的情况的扩展结构。这可以被认为是对普通图形计算施加的附加对称性；例如，称为对称主范畴的代数结构就是具有该一般属的图形计算的一个示例。另一方面，还有其他例子，为了获得它们的高阶代数描述，我研究了幺半群范畴的对称性。之前关于这个主题的研究考虑了群操作的概念，但作为一个更灵活的版本，我们关注交叉区间群，对它们进行分类，并表明它们的类别是可以表达的。此外，我们构造了一个从交叉单纯群自由生成交叉区间群的函子，并给出了具体的描述。预计这将使我们能够根据幺半群范畴对称性中的交叉区间群来讨论有关交叉单纯群的许多先前结果。作为另一个扩展，我们考虑了 ∞ 类别中的图形计算。具体来说，通过利用图形计算的操作数是从 coboldism 获得的这一事实，我们能够提供包含这些高阶信息的代数描述。我们还证明了对称枢轴 ∞ 范畴就是一个例子。我用旅费出席了几个国际研究会议。