Ｍｏｍｅｎｔ－ａｎｇｌｅ　複体のトポロジーと凸多面体の組合せ論

复形的矩角拓扑和凸多面体的组合

• 批准号: 13F03015
• 负责人: 枡田 幹也
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Osaka City University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2016-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13F03015/
• 关键词: トーリックトポロジー; トーリック折り紙多様体; Bausbaum環; 多重多面体; 体積関数; トーリックシンプレクティック多様体; Buchsbaum複体; 擬トーリック多様体; moment-angle複体; 折り紙多様体; モーメント写像; コホモロジー; 凸多面体

本研究は，トーリックトポロジーと呼ばれる分野の研究である．トーリックトポロジーは，代数幾何と組合せ論を繋ぐ架け橋であるトーリック幾何のトポロジー版と呼ばれる分野である．その中で，２０１１年に Cannas da Silva-Guillemin-Pires たちはトーリック折り紙多様体という概念を導入し，それらが，ある条件を満たす有限個の凸多面体の集合（折り紙テンプレート）で分類できることを示した．これはシンプレクティックトーリック多様体に対する有名なDelzantの定理の一般化である．Ayzenberg，Park, Zengと枡田は，トーリック折り紙多様体Mの軌道空間の（軌道空間自身以外の）面がすべて非輪状という仮定の下で，Mのベッチ数を軌道空間の面の数で記述することに成功し，Mのコホモロジー環の構造をほぼ決定した．その際，組合せ論または可換環論で研究されているBuchsbaum複体との関連を見出した．また，トーリック折り紙多様体の族がどれほど広いものであるかという基本的な問題に取り組んだ．4次元では，単連結なトーリック折り紙多様体の族は擬トーリック多様体と呼ばれる族と一致するが，本研究において，６次元以上では，単連結なトーリック折り紙多様体にならない擬トーリック多様体が（沢山）存在することを示した．一方， Ayzenberg氏は， この研究で考案した方法を独自に進め，幾つか単著論文を書いた．特に，Buchsbaum複体に関して知られている幾つかの基本的事実を，可換環論の手法を用いずトポロジーの手法を用いて示した．かなり先端の道具を用いるが，幾何学的な証明を与えたのは注目に値する．滞在後半を過ぎてから，服部―枡田が導入した多重多面体について，枡田と共同研究を行った．多重多面体は凸多面体を拡張した概念で，多重扇と超平面配置の対として定義され，凸多面体の体積に相当する体積関数が定義できる．この体積関数についてミンコフスキーの定理との関連などを詳しく調べた．

这项研究属于环面拓扑领域。环面拓扑是一个被称为环面几何的拓扑版本的领域，它是连接代数几何和组合学的桥梁。 2011 年，Cannas da Silva-Guillemin-Pires 及其同事引入了环面折纸流形的概念，并表明它们可以通过满足某些条件的有限凸多面体（折纸模板）集进行分类．这是著名的辛环面簇的德尔赞特定理的推广。 Ayzenberg、Park、Zeng 和 Masuda 在假设环面折纸流形 M 的轨道空间的所有面（轨道空间本身除外）为我们成功了，并且几乎确定了 M 的上同调环的结构。当时，我们发现了与布克斯鲍姆复合体的关系，这是在组合学或交换环理论中研究的。我们还解决了环形折纸品种家族的范围有多大这一基本问题。在 4 维中，单连通复曲面折纸变种家族与称为伪复曲面变种的家族重合，但在本研究中，在 6 维及以上，伪复曲面变种不会成为单连通复曲面折纸变种（研究表明，有许多另一方面，Ayzenberg 博士独立开发了本研究中设计的方法，并撰写了多篇单人论文。特别是，我使用拓扑方法而不是交换环理论方法证明了有关 Buchsbaum 复合体的一些已知基本事实。值得注意的是，尽管他使用了相当先进的工具，但他提供了几何证明。在我逗留的后半段之后，我与服部增田共同研究了增田提出的多重多面体。多多面体是凸多面体概念的扩展，定义为一对多扇形和超平面排列，可以定义与凸多面体的体积对应的体积函数。我们详细研究了这个体积函数和闵可夫斯基定理之间的关系。

项目成果

Volume polynomial of a multipolytope and corresponding duality algebra

多多面体的体积多项式和相应的对偶代数

• 发表时间: 2015
• 作者: Ivan Borzenets;Yuya Shimazaki;Gareth Jones;Saverio Russo;Michihisa Yamamoto;Seigo Tarucha;Anton Ayzenberg
• 通讯作者: Anton Ayzenberg

Topology of manifolds with locally standard action of torus

具有局部标准环面作用的流形拓扑

• 发表时间: 2014
• 作者: K. Yoshida;G. Copley;H. Mori;and A. Osuka;Tetsuo Deguchi;Anton Ayzenberg
• 通讯作者: Anton Ayzenberg

Homology cycles in manifolds with locally standard torus actions

具有局部标准环面作用的流形中的同调循环

• DOI: 10.4310/hha.2016.v18.n1.a1
• 发表时间: 2016
• 期刊: Homology, Homotopy and Applications
• 作者: Tremml-Werner;Birgit;Anton Ayzenberg
• 通讯作者: Anton Ayzenberg

CONSTELLATION COMPLEXES OF SPHERICAL CONFIGURATIONS

球状结构的星座群

• 发表时间: 2013
• 作者: Wang;L.;Anton Ayzenberg
• 通讯作者: Anton Ayzenberg

Orbit type filtrations of torus manifolds and combinatorics of simplicial posets

环面流形的轨道型过滤和单纯偏序集的组合

• 发表时间: 2015
• 作者: Ivan Borzenets;Yuya Shimazaki;Gareth Jones;Saverio Russo;Michihisa Yamamoto;Seigo Tarucha;Anton Ayzenberg;Suraphong Yuma;Birgit Tremml-Werner;Tetsuo Deguchi and Pulak Ranjan Giri;Anton Ayzenberg
• 通讯作者: Anton Ayzenberg