ポリオミノに付随する二項式イデアルの代数的及び組合せ論的探究

与多项骨牌相关的二项式理想的代数和组合探索

基本信息

批准号：
14F04318
负责人：
日比孝之
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究代表者（受け入れ研究者）と外国人特別研究員の平成２６年度の研究成果の一つである、長方形の内部から単純なポリオミノを除去することから得られる非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが素イデアルである、という定理を含む論文（arXiv:1502.03669）の改定作業を遂行し、その結果、当該論文は、権威ある国際雑誌 Illinois Journal of Mathematics に掲載されることが決定している。一般に、素イデアルとなる二項式イデアルはトーリックイデアルとなることが既知であるが、上記の論文のポリオミノイデアルがトーリックイデアルであることを証明することは難航していた。結局、その証明は、研究代表者の指導の下、研究代表者の研究室の博士後期課程の大学院生によって得られた。ポリオミノイデアルに関する懸案の予想の一つに、任意のポリオミノイデアルは根基イデアルである、というものがある。外国人特別研究員は、その予想を肯定と否定の両面から考察した。否定的な観点からは、膨大な時間の計算機実験を遂行したが、反例は得られてはいない。肯定的な観点からは、いわゆる squarefree なイニシャルイデアルが存在することを作業仮説とし、研究を展開し、特殊な非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが squarefree なイニシャルイデアルを持つことを示した。その他、外国人特別研究員は、研究代表者らとの国際共同研究を実施し、有限半順序集合から有限半順序集合への順序を保つ写像に付随する単項式イデアルの探究、及び、トーリックイデアルの探究を展開し、二編の共著論文（arXiv:1504.01520；arXiv:1512.01973）を執筆した。

2014年研究代表（受理研究员）和国外特约研究员的研究成果之一是，与从矩形内部去除简单多联骨牌得到的非简单多联骨牌关联的多联骨理想，我们进行了论文的修改工作（ arXiv:1502.03669），其中包括“是一个素理想”定理，因此该论文发表在国际著名期刊《伊利诺伊州杂志》上已决定在《数学》杂志上发表。一般来说，已知作为素理想的二项式理想是环面理想，但很难证明上述论文中的多项式理想是环面理想。最终证明是由课题组的一名博士生在课题组的指导下得到的。关于多骨理想的突出猜想之一是任何多骨理想都是激进的理想。国外专门研究人员从积极和消极两个角度考虑了这一预测。从反面来看，虽然进行了大量的计算机实验，但没有得到反例。从积极的角度来看，我们假设存在所谓的无平方初始理想作为工作假设，开展研究，并表明与特殊非简单多联骨相关的多联骨具有无平方初始理想。此外，国外特聘研究员将与研究代表进行国际联合研究，探索从有限偏序集到有限偏序集的保序映射相关的单项式理想，并探索环面理想，并撰写两篇合作论文。（arXiv：1504.01520；arXiv：1512.01973）。