部分多様体の幾何学の展開と応用

子流形几何学的发展与应用

基本信息

批准号：
14F04020
负责人：
宮岡礼子
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

極小等径超曲面のインデックスの計算は，主曲率の個数が３以下の場合は，Yan氏によってすでになされ，ここでは，4,6の場合を明らかにしたかったが，当初２年で行う計画が，やむを得ぬ事情で１年半で帰国という状況になったこともあり，まだ最終結論には至っていない．しかし，主曲率の個数6の場合は3の場合との対応がわかっており，しかも分類定理により，等質であることがわかっているので，3の場合を手掛かりに考えられると信じている，4の場合も2の場合との関連でとっかかりがありそうである．ただ，そのバンドル構造を明らかにすることは，かなりの計算を要するので未完成である．このインデックスの計算は，焦部分多様体という次元の下がった極小部分多様体に対しても，超曲面の極限として，調べることが重要である．実際，極小部分多様体に対してインデックスやナリティを調べることは，退化した部分に集約される情報を見出すことがヒントとなる．例えばクリフォード超曲面の場合，退化した極小部分多様体は単に低次元全測地的球面であるから，インデックスもナリティも簡単にわかる．そのチューブをとったものがクリフォード超曲面で，その中に極小のものが唯一現れるので，この様子を調べれば主曲率4の場合につながる．さらには3,6の対応につなげることも試みている．これにより，もう一つの課題である極小部分多様体の安定性を探ることになり，もし主曲率の個数４の場合にもこの議論ができると，非等質な場合の考察につながるので，より本質的である．最終結論には至らずとも，非等質なものをどう扱って良いのかは大きな課題である.さらにガウス写像の像が複素２次超曲面の極小ラグランジュ部分多様体になっていることから，その安定性を調べることにも関係してくる．いずれも等質な場合にリー群論を用いて，計算を行っている．

当主曲率数为3或更少时，最小等距超曲面的指数计算已经由颜老师完成了，这里我们想澄清4和6的情况，但最初的计划是这样做两年后，由于不得已的情况，我不得不在一年半后回到日本，所以我还没有得出最终的结论。然而，由于我们知道6个主曲率的情况对应于3的情况，并且根据分类定理我们知道它们是齐次的，所以我们相信我们可以以3的情况为线索来考虑3的情况案例 4 似乎也有一个与案例 2 相关的起点。然而，阐明束结构需要大量的计算，因此是不完整的。计算该指数时，重要的是研究最小子流形，它具有称为焦点子流形的减小尺寸，作为超曲面的极限。事实上，当检查最小子流形的索引和质量时，找到在简并部分中聚合的信息提供了一个提示。例如，在 Clifford 超曲面的情况下，简并最小子流形只是一个低维总测地线球体，因此索引和质量很容易知道。取那个管子得到的材料就是克利福德超曲面，其中只出现了最小的一个，所以如果我们研究这种情况，我们会发现主曲率为4的情况。我们还尝试将其与措施 3 和 6 联系起来。这导致我们要探讨最小子流形的稳定性，这是另一个问题，如果即使在4个主曲率的情况下也能提出这个论点，就会导致考虑非齐次情况，所以会更是必不可少的。即使不能得出最终结论，如何处理非齐次物体也是一个大问题。此外，由于高斯图的图像是复杂二次超曲面的无穷小拉格朗日子流形，因此也与研究稳定性有关。在这两种情况下，计算都是在齐次情况下使用李群理论进行的。