Development of a foundation for discrete complex analysis

离散复杂分析基础的发展

• 批准号: 22K18677
• 负责人: 石渡 哲哉
• 金额: $ 4.16万
• 依托单位: Shibaura Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-06-30 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18677/
• 关键词: 離散複素解析; 離散正則性; コーシーの積分表示; 離散円周率; コーシーの積分定理; メッシュ分割

複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。

复杂的分析是一种高度发达的数学理论，不仅被用作数学理论，而且还用作数学围绕数学的各种科学和工程应用中非常有力的数学理论。从其应用的角度来看，自1940年代以来就已经尝试了从引入概念的开头，而不是简单地离散复杂分析的定义和结果。它已取得了某些结果，包括物理，CG和其他领域的应用。但是，由于常规定义是基于Cucie Liemann方程的离散化，因此复杂平面的网格分配有一个限制，并且每个结果的证明也符合网格分层。我们回顾了离散规律性的定义，发现通过在规律性的某个积分表示基础上依据，可以在一般网格划分中定义离散的规律性，并成功地获得了更通用的表达公式，包括凯奇在该定义下的积分表示。在此过程中，引入了离散PI，该PI由周期（离散积分路径）确定。

项目成果

連続のものを離散にすると ～離散複素解析に向けて～

让连续的事物离散化~走向离散复杂分析~

• 发表时间: 2023
• 作者: 塩沢 裕一;塩沢 裕一;石渡哲哉
• 通讯作者: 石渡哲哉