Development of a foundation for discrete complex analysis

离散复杂分析基础的发展

• 批准号: 22K18677
• 负责人: 石渡 哲哉
• 金额: $ 4.16万
• 依托单位: Shibaura Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-06-30 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18677/
• 关键词: 離散複素解析; 離散正則性; コーシーの積分表示; 離散円周率; コーシーの積分定理; メッシュ分割

複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。

复分析是一种非常发达的数学理论，它被用作一种非常强大的数学理论，不仅因为它作为数学的价值，而且在围绕数学的各种科学和工程中的应用。从其应用的角度来看，自20世纪40年代以来，从概念引入之初就尝试在离散的框架中构建理论体系，而不是简单地将复杂分析的各种定义和结果离散化，并取得了一定的成果。 ，包括科学和 CG 的应用。然而，由于常规的定义是基于Cauchy-Riemann方程的离散化，因此复平面的网格划分存在限制，并且各个结果的证明也遵循网格划分。我们回顾了离散正则性的定义，发现基于一种正则性的积分表达式，可以在不受一般网格划分限制的情况下定义离散正则性，并基于该定义，我们成功地获得了更通用的表达式公式包括柯西积分表示。此外，在此过程中，我们引入了根据周期（离散积分路径）确定的离散pi。

项目成果

連続のものを離散にすると ～離散複素解析に向けて～

让连续的事物离散化~走向离散复杂分析~

• 发表时间: 2023
• 作者: 塩沢 裕一;塩沢 裕一;石渡哲哉
• 通讯作者: 石渡哲哉