Semiclassical distribution of quantum resonances and graph structure of classical trapped trajectories

量子共振的半经典分布和经典俘获轨迹的图结构

• 批准号: 22KJ2364
• 负责人: 樋口 健太
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Ehime University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2364/
• 关键词: 量子共鳴; 局所散乱行列; 一般化古典軌道; 確率振幅; 共鳴トンネル現象

本年度は行列シュレディンガー作用素（1, 2, 3）および量子ウォーク（4）のそれぞれにおける量子共鳴について個別に研究を進め、主に以下の成果が得られた。1)行列シュレディンガー作用素の量子共鳴：２つの（スカラー）シュレディンガー作用素を対角成分とする行列シュレディンガー作用素の量子共鳴の半古典漸近分布を研究した。特にスカラー作用素の一方が捕捉的（特に井戸型）、もう一方が非捕捉的であるような実エネルギーの近傍の量子共鳴に着目し、対応する一般化古典軌道の幾何学的量を反映して分布することを明らかにした。一般化古典軌道はそれぞれのスカラー作用素に対応する古典軌道の「和」として導入される。一般化古典軌道に確率振幅を定義することにより、Bohr-Sommerfeld量子化条件「固有値（または量子共鳴）では周期軌道を一周する確率振幅が１となる」を一般化した。2)行列シュレディンガー作用素の散乱行列：一般化古典軌道に対する確率振幅を用いることで散乱行列の漸近挙動が明らかになった。特に、スカラー作用素に対して知られ、ダイオードに応用される共鳴トンネル現象に類似の現象が行列値の場合にも見られることを示した。3)断熱遷移問題：1)において一般化古典軌道に確率振幅を定義する際、古典軌道同士が交差する点の近傍での超局所解の挙動の解析は行列作用素に特有の問題となる。1)ではその挙動を表す「局所散乱行列」を導入することで確率振幅を定義した。なかでも接触交差における局所散乱行列の漸近挙動については大きな進展となったため、その解析手法を断熱遷移問題に現れる１階の行列作用素へ適用した。両者の局所散乱行列には接触に関する共通の幾何学的量がみられることから、さらなる一般化が期待される。4)量子ウォークの量子共鳴：量子ウォークに量子共鳴を導入し、量子ウォークの長時間挙動は量子共鳴の分布を反映することを示した。

今年，我们分别对矩阵薛定谔算子（1,2,3）和量子行走（4）中的量子共振进行了研究，得到了以下主要结果。 1）矩阵薛定谔算子的量子共振：我们研究了矩阵薛定谔算子的量子共振的半经典渐近分布，其对角分量是两个（标量）薛定谔算子。特别是，我们关注真实能量附近的量子共振，其中一个标量算子是俘获的（特别是阱型的），另一个是非俘获的，并且我们揭示了相应的广义经典轨道的几何量。的分布广义经典轨道被引入为对应于每个标量算子的经典轨道的“总和”。通过定义广义经典轨道的概率幅度，我们概括了玻尔-索末菲量子化条件：“在特征值（或量子共振）中，围绕周期轨道旋转一圈的概率幅度为 1。” 2）薛定谔算子矩阵的散射矩阵：利用广义经典轨道的概率幅阐明了散射矩阵的渐近行为。特别是，我们表明，在矩阵值情况下也会出现与标量算子已知并应用于二极管的谐振隧道现象类似的现象。 3）绝热转移问题：在1）中定义广义经典轨迹的概率幅时，分析经典轨迹相交点附近的超局部解的行为是一个特定于矩阵算子的问题。在 1) 中，我们通过引入表示行为的“局部散射矩阵”来定义概率幅度。特别是，在接触相交处局部散射矩阵的渐近行为方面取得了重大进展，因此我们将这种分析方法应用于绝热转移问题中出现的一阶矩阵算子。由于两者的局部散射矩阵具有与接触相关的共同几何量，因此预计会进一步推广。 4）量子行走的量子共振：我们将量子共振引入到量子行走中，并表明量子行走的长期行为反映了量子共振的分布。

项目成果

行列シュレディンガー作用素における共鳴トンネル効果の半古典解析

矩阵薛定谔算子中共振隧道效应的半经典分析

• 发表时间: 2022
• 作者: Miura;F.;三浦郁修;三浦郁修;三浦郁修，大森亮介，北島正章，渡辺幸三;三浦郁修，荒川千智，原本英司，北島正章;樋口健太
• 通讯作者: 樋口健太