界面方程式の自由境界問題における特異性をもつ進行波面の研究

界面方程自由边界问题中奇点行波前的研究

• 批准号: 22KJ2849
• 负责人: 森 龍之介
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Meiji University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2849/
• 关键词: 外力項付き曲線短縮流; 自由境界問題; 特異点

今年度は，外力項付き曲線短縮流の自由境界問題について，時間発展の途中で解曲線の端点以外で生じる特異性の解析を行った．(1)解曲線の端点以外で生じる特異点の性質：まず，既存の結果を用いて弱解の時間大域的な存在を示し，弱解が局所時間内では古典解になることを示した．次に，最初の特異点発生時刻（以下では特異時刻と呼ぶことにする）において，特異点の個数が有限個であることと，特異時刻を過ぎると瞬時に解の正則性が回復し古典解になることを示した．さらに，特異時刻の集合が集積点をもたないことを示した．(2)角のある領域における自由境界問題の解の構成：開き角が180度よりも大きい扇型領域において，領域の境界と直交する半直線を初期値とする外力項付き曲線短縮流の自由境界問題の解を構成した．構成方法は，まず元の領域を近似するなめらかな近似領域において自由境界問題の解を構成する．次に近似領域を元の領域に近づける極限をとることで，元の領域における解を捉える．この方法で構成された解曲線は，その端点が領域の角以外にあるときは古典的な自由境界問題の解として振舞い，端点が領域の角にあるときには領域の境界とのなす角度が一定の範囲にある間は固定端の解として振舞うことが分かった．(3)角のある障害物に対する解の振舞：開き角が270度よりも大きい扇型領域において，領域の境界と交わらない直線を初期値とする外力項付き曲線短縮流の自由境界問題の解を上述の(2)の方法で構成した．解曲線は有限時間で領域の角に接触するが，それ以降は(2)の解と同様の振舞をすることがわかった．

今年，我们分析了在时间演化期间的端点端点以外的奇异性，用于使用外力项的曲线缩短流的自由边界问题。 （1）在解决方案曲线端点之外发生的奇异性的性质：首先，我们使用现有结果表明了随着时间的流逝的全球存在，表明弱解决方案在当地时间内成为经典的解决方案。接下来，我们表明，在奇异性发生的第一次（以下称为奇异时间），奇异性的数量是有限的，一旦奇异时间过去了，解决方案的规律性就会立即恢复并成为经典的解决方案。此外，结果表明，奇异时间的集合没有积累点。 （2）在倾斜区域中求解解决方案：在开头角度大于180度的扇形区域中，曲线缩短流动流，外力项的曲线缩短流量，具有半线正交的初始值与该区域边界。构造方法首先在平稳的近似区域中构建解决方案的解决方案，该区域近似于原始区域。接下来，通过限制将大约区域更接近原始区域，我们在原始区域中捕获了解决方案。发现以这种方式构建的解决方案曲线是对经典自由边界问题的解决方案，当它的终点的角度以外的角度以外的角度，而当端点处于区域的角度的角度时，它作为固定端的解决方案，而与该区域边界形成的角度则在一定范围内。 （3）倾斜障碍物的解决方案行为：在扇形的区域中，开口角大于270度，解决曲线缩短流的自由边界问题的解决方案与外部力期限缩短流动，并没有将区域的边界视为其初始值的直线，是使用上述方法（2）构建的。发现解决方案曲线在有限的时间接触该区域的角落，但是从那时起，该行为与（2）中的解决方案相似。