界面方程式の自由境界問題における特異性をもつ進行波面の研究

界面方程自由边界问题中奇点行波前的研究

• 批准号: 22KJ2849
• 负责人: 森 龍之介
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Meiji University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2849/
• 关键词: 外力項付き曲線短縮流; 自由境界問題; 特異点

今年度は，外力項付き曲線短縮流の自由境界問題について，時間発展の途中で解曲線の端点以外で生じる特異性の解析を行った．(1)解曲線の端点以外で生じる特異点の性質：まず，既存の結果を用いて弱解の時間大域的な存在を示し，弱解が局所時間内では古典解になることを示した．次に，最初の特異点発生時刻（以下では特異時刻と呼ぶことにする）において，特異点の個数が有限個であることと，特異時刻を過ぎると瞬時に解の正則性が回復し古典解になることを示した．さらに，特異時刻の集合が集積点をもたないことを示した．(2)角のある領域における自由境界問題の解の構成：開き角が180度よりも大きい扇型領域において，領域の境界と直交する半直線を初期値とする外力項付き曲線短縮流の自由境界問題の解を構成した．構成方法は，まず元の領域を近似するなめらかな近似領域において自由境界問題の解を構成する．次に近似領域を元の領域に近づける極限をとることで，元の領域における解を捉える．この方法で構成された解曲線は，その端点が領域の角以外にあるときは古典的な自由境界問題の解として振舞い，端点が領域の角にあるときには領域の境界とのなす角度が一定の範囲にある間は固定端の解として振舞うことが分かった．(3)角のある障害物に対する解の振舞：開き角が270度よりも大きい扇型領域において，領域の境界と交わらない直線を初期値とする外力項付き曲線短縮流の自由境界問題の解を上述の(2)の方法で構成した．解曲線は有限時間で領域の角に接触するが，それ以降は(2)の解と同様の振舞をすることがわかった．

今年，我们分析了带有外力项的曲线缩短流的自由边界问题的时间演化过程中，解曲线端点以外的点出现的奇点。 (1)解曲线端点以外的点出现的奇异点的性质：首先，我们利用现有结果以时间全局的方式证明了弱解的存在，并证明了弱解在当地时间。接下来，在第一个奇点出现时刻（以下简称奇点时刻），奇点数量是有限的，在奇点时刻之后，解的规律性瞬间恢复，经典解表明：此外，我们证明了奇异时间集合没有累积点。 (2) 角度区域自由边界问题解的构造：在张角大于180°的扇形区域中，外力项初始值为半数的自由曲线缩短流垂直于区域边界的线我们构建了边界问题的解决方案。该构造方法首先在逼近原始区域的平滑逼近区域中构造自由边界问题的解。接下来，通过采用使近似区域更接近原始区域的限制，我们可以捕获原始区域中的解。当以这种方式构造的解曲线的端点位于域的角点之外时，它表现为经典自由边界问题的解，并且当端点位于域的角点处时，与域边界的角度是恒定的。事实证明，在该范围内，它表现为固定端解决方案。 (3) 角度障碍的解的行为：在张角大于270°的扇形区域中，外力项初始值为直线的弯曲缩短流自由边界问题的求解与区域边界不相交的区域是使用上述方法（2）构建的。发现解曲线在有限时间内触及区域的角点，但此后它的行为与（2）中的解相同。