実解析学と偏微分方程式への応用

偏微分方程的实数分析及应用

基本信息

批准号：
12J02479
负责人：
筒井容平
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2012
资助国家：
日本
起止时间：
2012 至 2014-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、当初の予定とは異なりドイツのBonn大学に2012年10月より2013年10月まで滞在したため、一年の半分はドイツでの研究となった。そこでは、受け入れのJaun J. L. Velázquez教授と九州大学の杉山由恵教授と共同でOthmar-Stevens modelとも呼ばれる細胞性粘菌の走化現象を記述するKeller-Segel系の域解の構成と漸近挙動について取り組んだ。扱った方程式系の特徴としては、粘菌が走化性を誘発する化学物質から受ける影響は、精神物理学におけるWeber-Fechnerの法則に従うとしているところと、その化学物質の拡散性の欠如にある。このような方程式系に対しては、どのような条件下で、有限時間または時間無限大で走化性の崩壊(解のL^￥infty normの発散)起きるか? を調べることが主要な問題となる。大域解の構成ついては、ほほ同時期に行われたAhn-Kangの研究により、走化性の強さを表す定数Cがある条件を満たすときlarge dataに対しても有界な大域解が構成されることが示された。我々が取り組んだのは、それ以外の定数に対しても、初期値に適当な条件を課せば有界な大域解は構成できるか? という問題である。我々は、初期値がある位相で小さければこの命題は正しいことを証明した。漸近挙動については、1次元でC=1の場合に次のようなことが分かった : 十分定数に近い平衡状態に時間無限大で収束するような初期値は選択可能。この結果はまだ成果として弱い部分があるため、さらに研究を発展させてから発表する予定である。また、非圧縮Navier-Stokes方程式の非線形項に関する一つの評価式であるdiv-curl lemmaを重みを考慮した一般化を行った。得られた不等式は考えている応用にはまだ不十分なところがあるが、Coifman-Lions-Meyer-Semmesらによるoriginalなもので抜け落ちていた場合を扱えることができたことは興味深い点である。

今年，与原计划相反，我从2012年10月到2013年10月在德国波恩大学呆了一年，所以有一半的时间都在德国做研究。在那里，我们与主办大学的 Jaun J. L. Velázquez 教授和九州大学的 Yoshie Sugiyama 教授合作，致力于构建 Keller-Segel 系统的域解和渐近行为，该系统描述了盘基网柄菌属的趋化现象。就像奥特马尔-史蒂文斯模型一样。所用方程组的特点是趋化性化学物质对粘菌的作用遵循心理物理学中的韦伯-费希纳定律，并且化学物质缺乏扩散性。对于这样的方程组，主要问题是研究在什么条件下趋化性崩溃（解的 L^\infty 范数的发散）会在有限或无限时间内发生？关于全局解的构建，Ahn-Kang 大约在同一时间进行的研究表明，当代表趋化性强度的常数 C 满足一定条件时，即使对于大数据也可以构建有界全局解。那我们解决的是是否可以通过对其他常数的初始值施加适当的条件来构造有界全局解的问题。我们证明了如果在某个阶段初始值很小，这个命题是正确的。关于渐近行为，当一维 C=1 时，我们发现：可以选择一个在无限时间内收敛到足够恒定的平衡状态的初始值。由于该结果仍存在一些不足之处，我们计划在发表之前进一步开展研究。此外，我们还通过考虑权重，推广了 div-curl 引理，它是不可压缩纳维-斯托克斯方程非线性项的评估公式。尽管由此产生的不等式仍然不足以满足预期的应用，但有趣的是，它们能够处理 Coifman-Lions-Meyer-Semmes 等人在原文中省略的情况。