周期領域におけるMaxwell方程式の形状最適化問題の数値解法

周期域麦克斯韦方程组形状优化问题的数值求解

基本信息

批准号：
11J05176
负责人：
新納和樹
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

项目摘要

採用二年度となる本年度は、より汎用的な高速解法を開発するためにMullerの定式化に基づく周期問題の数値解法に関する研究を行った。Mullerの定式化は境界積分方程式の定式化の一種であり、この定式化で得られる境界積分方程式は第二種Fredholm積分方程式となる。前年度に研究を行ったCalderonの前処理は、Calderonの式と呼ばれる積分作用素の関係式を用いて、方程式が良条件となるように前処理行列を構成する手法であったが、本年度に研究を行ったMullerの定式化による高速化は、方程式が良条件になるように積分方程式の定式化を行う方法であると言える。また前年度の方法では双対基底が必須であったため、双対基底に関するいくつかの問題を抱えていたが、本手法ではこれを解決するために、Nystrom法を用いて離散化を行った。Nystrom法は、数値計算で用いる積分公式の積分点を選点とする選点法の一種であり、選点上でのベクトル値そのものを未知数とするため、基底を用いる必要のない離散化手法である。Mullerの定式化とNystrom法による離散化を組み合わせた数値解法を実際に実装し、その有効性を確かめた。また周期波動散乱問題特有の現象として、入射波の周波数や入射角といったパラメータがある特定の値を取るときに、解が特異的な挙動を示すことが知られている。この現象はWoodのanomalyと呼ばれる。一般にWoodのanomaly周辺において数値解の精度が悪化したり、反復法の反復回数が増加することが知られている。本年度の研究において、Mullerの定式化とNystrom法を組み合わせた解法を用いて、Woodのanomalyが現れる問題をいくつか解き、本手法ではWoodのanomaly周辺においても精度良く、少ない反復回数で解が得られることがわかった。

今年，即项目的第二年，我们基于Muller公式对周期问题的数值解进行了研究，以开发更通用的高速解。 Muller公式是边界积分方程公式的一种，用该公式得到的边界积分方程是第二类Fredholm积分方程。我们前一年研究的卡尔德隆预处理是一种利用称为卡尔德隆方程的积分算子的关系表达式来构造预处理矩阵以使方程具有良好条件的方法，通过穆勒公式实现的加速可以说是一种方法。建立积分方程，使方程具有良好的条件。另外，由于前一年的方法需要双基，所以双基存在一些问题，但为了解决这个问题，本方法采用了Nystrom方法进行离散化。尼斯特罗姆法是一种将数值计算中使用的积分公式的积分点作为配置点的配置方法，由于配置点上的向量值本身是一个未知量，因此它是一种离散化方法，不需要使用基础。我们实际上实现了一种将 Muller 公式与 Nystrom 方法离散化相结合的数值求解方法，并证实了其有效性。还已知，作为周期波散射问题特有的现象，当入射波的频率和入射角等参数取一定值时，解会表现出特殊的行为。这种现象称为伍德异常。一般来说，已知伍德异常附近数值解的精度会变差，并且迭代方法的迭代次数会增加。在今年的研究中，我们使用了Muller公式和Nystrom方法相结合的求解方法来解决出现Wood异常的几个问题，并且我发现我们的方法即使在Wood异常周围也能以少量的迭代次数获得高精度的解。表明这是可以做到的。