グラフ上の逆問題に対する境界制御法を用いた解析手法について

图反问题的边界控制方法分析方法

基本信息

批准号：
11J04248
负责人：
和田尚樹
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J04248/
关键词：
逆問題偏微分方程式

项目摘要

研究の目的、研究実施計画に書いたように、平成24年度はC^*代数を用いた逆問題の解析手法の確立と数値計算についての研究を行った。とくに、C^*代数を用いた解析手法の研究については、境界観測に関連し逆問題に応用可能であると考えているあるC^*代数が属するクラスを決定するという成果を得た。このことで、今後、逆問題の問題設定や、その解析を行う枠組みが非常に明確になったと考えている。このことは、"AC^* algebra associated with a graph and its possible application to inverse problems"として論文を発表する予定である。このようなC^*代数を用いた逆問題への取り組みは例が少なく、多様体上では共同研究者のロシアの肌Belishev教授が成果を得ているが、多様体については代数が可換になるのに対しグラフ上では非可換になることが証明されている。それが解析の困難点となっているが、同時に、数学の観点からは興味深い点にもなっていると考えている。さらに、逆問題への応用という観点からは、逆問題を設定する新たな切り口が得られるものと考えている。詳細に調べたいくつかの具体例については、境界観測に関連するC^*代数の既約表現全体に、ある自然な位相を入れたとき、その位相構造の特異点の個数がグラフに含まれる頂点の個数に関係することを発見している。このことは、今年度発見したクラスの枠組みに拡張することを考えている。実際、このことは、従来の方法では設定できなかったような枠組みでの問題設定となっている。

根据研究目标和研究实施计划，2012年我们开展了建立C^*代数反问题分析方法和数值计算的研究。特别是，关于使用C^*代数的分析方法的研究，我们获得了确定某个C^*代数所属类的结果，该结果与边界观察有关，被认为适用于反问题。我相信这使得以后设置和分析反问题的框架变得非常清晰。我们计划发表一篇关于这个主题的论文“与图相关的 AC^* 代数及其在反演问题中的可能应用”。使用C^*代数解决此类反问题的例子很少，我的合作研究员俄罗斯的Belishev教授已经在流形上取得了成果，但对于流形来说，代数是可交换的，另一方面已经证明了。它在图上是不可交换的。这是一个分析的难点，但同时，我认为从数学角度来看这也是一个有趣的点。此外，从应用到反问题的角度来看，我们相信可以获得一种建立反问题的新方法。详细研究的一些具体例子包括，当将某种自然拓扑插入到与边界观察相关的 C^* 代数的整个不可约表示中时，该拓扑结构的奇点数量包含在图中。与顶点数有关。我正在考虑将其扩展到我今年发现的类框架。事实上，这在框架中提出了使用传统方法不可能解决的问题。