重さ1のモジュラー形式と相互法則

权重 1 的模形式和互易定律

基本信息

批准号：
11J03076
负责人：
小笠原健
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J03076/
关键词：
重さ1のモジュラー形式イデアル類群楕円曲線

项目摘要

今年度は,主に以下の2点について研究を行った.1.あるエータ商が生成するHecke加群の研究エータ商とは,Dedekindのエータ関数の積と商によって表わされる関数のことをいう.昨年度の研究において,あるエータ商が生成するHecke加群の次元が,ある虚2次体の類数に一致するだろうと予想したが,D.Zagier氏からの助言を得て,実際にそのことを証明することができた.具体的な証明の手順は以下のようになる.まず,エータ商を,ある虚2次体のイデアルに関する和に書き直し,エータ商がこの虚2次体によるCMをもつことを示す.次に,エータ商が生成するHecke加群が,あるrayclass指標に付随する,類数個のテータ級数たちによって生成される加群に含まれることを示す.最後に,エータ商が,類数個のテータ級数の「すべて」を用いた線形結合で表されることを示し,証明が完了する.この結果の意義として,エータ商へのHecke作用を調べることで,虚2次体のイデアル類群の研究への応用が期待されることが挙げられる.2.octahedral型のモジュラー形式の明示的表示を与えたこと重さ1のモジュラー形式には,octahedral型と呼ばれるものがある.この型のものに対しては,既知の関数を用いた明示的表示の例が今までに知られていなかったが,今回の研究で,あるoctahedral型のモジュラー形式に対して,重さ1のテータ級数を用いた表示を与えることができた.その方法は,重さ1のテータ級数の平方が生成するHecke加群(従って重さ2の空間の部分空間)を考え,octahedral型のモジュラー形式の平方が,そのHecke加群に含まれることを,PARI/GPによる計算で確かめることであった.

今年我们主要研究了以下两点： 1.由一定的eta商生成的Hecke模的研究 eta商是用Dedekind的eta函数的乘积和商来表示的函数。在我的研究中，我预测由某个 eta 商生成的 Hecke 模块的维数将与某个虚二次域的类数相匹配，但在 D. Zagier 先生的建议下，我实际上证实了这一点。证明它。具体证明过程如下：首先，将eta商重写为虚二次场的理想之和，并证明eta商因该虚二次场而具有CM。接下来，由eta商生成Hecke。我们表明，该模块包含在由附加到某个rayclass索引的theta系列的类数生成的模块中，表示为线性组合。至此完成了证明。该结果的意义在于通过研究Hecke对eta商的作用，有望应用于虚二次域理想类群的研究。 2．提供模形式的显式表示。八面体类型的权重 1 的模形式称为八面体类型。对于这种类型，从未给出使用已知函数的显式表示的示例。然而，在这项研究中，我们能够使用权重 1 的 theta 级数来表示由 H 生成的某个八面体模形式。本研究的目的是考虑一个ecke模（因此权重为2的空间的子空间），并使用PARI/GP进行计算以确认八面体模形式的平方包含在ecke模中。