偏微分方程式の漸近解析に対する逆問題的手法の構築

偏微分方程渐近分析的反问题方法的构建

基本信息

批准号：
11J00192
负责人：
柿澤亮平
金额：
$ 0.45万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

项目摘要

n次元Euclid空間の有界領域上の半線型熱伝導方程式、Navier-Stokes方程式などに対する初期境界値問題について、Determining nodesと呼ばれる有界領域上の有限個の点からなる集合の存在を考察した。Determining nodesは時間大域的な解の漸近挙動の観測点からなる集合のことであり、もし存在すれば、Determining nodesでの解の漸近挙動から有界領域での解の漸近挙動を一意に決定することができる。本年度はBanach空間上の半線型放物型発展方程式に対する初期値問題について、Determining nodesのLp理論を構築した。Detemining nodesのLp理論を構築するために、まず、Lp上のSectorial作用素から誘導されるBanach空間とDetermining nodesとの関係を精査し、Lpのnode補間不等式を証明した。これより、n/2<p<∞とし、Lpのnode補間不等式と(Navier-Stokes初期値問題で用いられた儀我-宮川の)逐次近似法と同様の方法を用いて時刻tの重み付きLpノルムがtに関して一様有界となるようなDetemining nodesの存在を証明した。境界条件の多様性については、適当な境界条件を伴った線型化作用素がLpでSectorialかどうかを確認すれば十分となった。漸近挙動の収束率についても、tの重み付きLpノルムのtに関する一様有界性を用いて明らかにできた。このように、今年度は解析半群のLp理論を用いて初めてDetermining nodesのLp理論を構築することができ、偏微分方程式の漸近解析に対する逆問題的手法に関して年次計画で期待した以上の研究成果が得られた。

对于n维欧几里得空间有界区域上的半线性热传导方程、纳维-斯托克斯方程等的初始边值问题，我们考虑了有界区域上有限个点组成的集合（称为确定节点）的存在性。确定节点是解的时间全局渐近行为的一组观察点，如果它们存在，则有界区域中解的渐近行为由确定节点处解的渐近行为唯一确定。。今年，我们构建了巴拿赫空间上半线性抛物型演化方程初值问题确定节点的Lp理论。为了构造确定节点的Lp理论，我们首先研究了Lp上的扇形算子导出的Banach空间与确定节点之间的关系，并证明了Lp的节点插值不等式。由此，我们设定n/2<p<∞，利用Lp的节点插值不等式以及类似于Giga-Miyakawa逐次逼近法（用于Navier-Stokes初值问题）的方法来计算时刻的权重我们证明了其 Lp 范数关于 t 一致有界的确定节点的存在。关于边界条件的多样性，现在足以检查具有适当边界条件的线性化算子在Lp中是否是扇形的。使用 t 的加权 Lp 范数的一致有界性也阐明了渐近行为的收敛速度。这样，今年我们就能够利用解析半群的Lp理论首次构造出确定节点的Lp理论，并且我们对偏微分方程渐近分析反问题方法的研究超出了我们的预期。计划得到了结果。