非結合的な単純代数の構造論

非结合简单代数的结构理论

基本信息

批准号：
11F01753
负责人：
伊山修
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11F01753/
关键词：
高次元Auslander-Reiten理論自己入射多元環限表現型ディンキン箙反復多元環軌道圏 n有限表現型 n団傾加群モジュラー表現論 2面体群テンソル積グリーン環直既約分解実可除代数三つ組導分アイソトープ Loewy長さ

项目摘要

特別研究員は、昨年度に引き続き、受け入れ研究者と共同で自己入射多元環の高次元Auslander-Reiten理論を研究した。多元環の表現論では、有限表現型と呼ばれる、直既約加群を有限個しか持たないクラスが重要である。箙(クイバー)の道多元環(pathalgebra)に対しては、古典的なGabrie1の定理によって、有限表現型とはADE型のディンキン箙に他ならないことが知られている。一方、道多元環とは別の重要なクラスとして、有限群の群環や0次元の可換Gorenstein環をはじめとする自己入射多元環(selfinjective algebra, Frobenius algebra)がある。自己入射多元環に対しては、Riedtmannによって有限表現型の分類がなされており、それらはADE型ディンキン箙の傾多元環(tilted algebra)の、反復多元環(repetitive algebra)の自己同型による軌道圏であることが知られている。高次元Auslander-Reiten理論においては、有限表現型多元環の高次元化であるn有限表現型多元環が重要である。これはn団傾加群(n-cluster tilting module)と呼ばれる特別な加群を持っことによって定義されるクラスであり、通常の有限表現型とは1有限表現型に他ならない。大域次元がnであるn有限表現型多元環は、簸の道多元環の高次元化を与えるものであり、受け入れ研究者やHerschend, Oppermannによってポテンシャル付き箙や前射影多元環を用いて研究されている。特別研究員は受け入れ研究者と共同で、〃有限表現型であるような自己入射多元環の一般的な構成方法を発見した。具体的には「τ-n有限性」を満たす多元環の反復多元環の自己同型による軌道圏が、n有限表現型の自己入射多元環であることを証明した。n1の場合、τ_1有限性とは、ADE型ディンキン箙であることに他ならないため、我々の構成は、上で述べたRiedtmamの構成の一般化とみなされる。現時点で知られているn有限表現型の自己入射多元環はすべて、この方法により再構成することが可能であり、さらに数多くの新しい例を得ることができる。現在、これらの研究成果をまとめた論文を準備中である。

继去年之后，特约研究员与宿主研究员共同研究高维自注入代数Auslander-Reiten理论。在代数表示论中，仅具有有限数量的直接不可约模的类（称为有限表示类型）非常重要。对于箭袋的路径代数，从经典Gabriele1定理可知，有限表示类型只不过是ADE类型的Dinkin箭袋。另一方面，除了路径代数之外的一类重要的类是自注入代数，包括有限群的群代数和零维交换Gorenstein代数。对于自注入代数，Riedtmann 对有限表型进行了分类，这是由于 ADE 型丁金倾斜代数的重复代数的自同构而形成的轨道类别。在高维 Auslander-Reiten 理论中，n-有限表征代数（有限表征代数的更高维）非常重要。这是通过具有称为n簇倾斜模块的特殊模块来定义的类，并且普通的有限表达式类型只不过是单个有限表达式类型。 n有限表征代数，其全局维数为n，赋予了炼金术士之路代数更高的维数，并由接受研究人员和Herschend和Oppermann利用具有势的箭袋和预投影代数进行了研究。该研究员与宿主研究人员合作，发现了一种构造具有有限表示的自注入代数的通用方法。具体来说，我们证明了满足“τ-n有限性”的重复代数自同构的轨道范畴是n-有限表示类型的自注入代数。在n1的情况下，τ_1的有限性只不过是ADE型丁金箭袋，因此我们的构造可以被视为上述Riedtmam构造的推广。目前已知的所有n有限表型的自注入代数都可以使用该方法进行重构，并且可以获得许多新的例子。我们目前正在准备一篇论文来总结这些研究成果。