Studies on the Navier-Stokes equations by numerical methods

纳维-斯托克斯方程的数值方法研究

• 批准号: 22K03438
• 负责人: 岡本 久
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Gakushuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03438/
• 关键词: 流体力学; 非線形偏微分方程式; 数値解析学

ナヴィエ・ストークス方程式は粘性流体の運動方程式であり、多くの研究者の注目を集めてきた。本研究では、まず、力学系理論から見たコルモゴロフ問題において粘性の小さな場合に見られる奇妙な現象を解析した。技術的な観点から言えば特異摂動現象の一つなのであるが、一般論を同方程式に適用しようとしてもすぐにはうまくいかない。これについて、数値的・摂動論的手法を用いて研究した。一方で、流体力学には様々なモデル方程式が使われており、その数値解析手法の開発も重要である。非圧縮流体のモデル方程式では非線形のみならず、しばしば非局所性が本質的である。そうした非線形かつ非局所的な微分方程式の解の特異点を数値的に検証しようとすると困難に出くわす。そうした問題を数値的に解くための計算アルゴリズムの開発をめざした。以上のふたつのメインテーマを中心にナヴィエ・ストークス方程式の解を研究した。さらに、流体力学の運動方程式はしばしば非線形かつ非局所的である。この「非局所的」という性質は意外に忘れられがちであるが、やっかいな問題を引き起こす原因となる。特に、解の爆発あるいは不連続性が発生するような発展方程式を数値計算しようとすると悩ましい問題に出会う。非線形熱方程式 ならば問題は簡単である。実際、一番簡単な差分法で定性的かつ定量的な解析が可能である。これは、ある時刻・ある点で爆発が起きるとき、元々の解がある種の単調性を持ち、その単調性が差分法の解にも共有されるからである。しかし、分数べきの微分方程式についてはそうした離散化が開発されていない。本研究ではその開発もひとつの目標としている。

纳维-斯托克斯方程是粘性流体的运动方程，引起了许多研究人员的关注。在本研究中，我们首先从动力系统理论中分析了柯尔莫哥洛夫问题中粘度较小时出现的一个奇怪现象。从技术角度来看，这是一种奇异摄动现象，但尝试将一般理论应用于同一方程并不能立即奏效。我们使用数值和微扰理论方法对此进行了研究。另一方面，流体力学中使用各种模型方程，数值分析方法的发展也很重要。不可压缩流体的模型方程不仅是非线性的，而且通常是非局部的。如果我们尝试用数值方法验证微分方程的这种非线性和非局部解的奇异性，我们就会遇到困难。我们的目标是开发一种计算算法来数值解决此类问题。我研究了纳维-斯托克斯方程的解，重点关注上述两个主题。此外，流体力学中的运动方程通常是非线性和非局部的。令人惊讶的是，这种“非本地”属性经常被遗忘，但它会引起麻烦的问题。特别是，当我们尝试数值计算演化方程时，我们会遇到一些麻烦的问题，这些问题会导致解的爆炸或不连续性。如果是非线性热方程，问题就简单了。事实上，使用最简单的差分法就可以进行定性和定量分析。这是因为当爆炸发生在某个时间点时，原解具有某种单调性，而这种单调性也为有限差分法的解所共有。然而，对于具有分数幂的微分方程，还没有开发出这样的离散化。在这项研究中，目标之一就是开发这一点。

项目成果

Stationary flows with highly localized vorticity of the incompressible viscous fluid at large Reynolds numbers

大雷诺数下不可压缩粘性流体具有高度局域涡度的定常流

• DOI: 10.1016/j.aml.2022.108500
• 发表时间: 2023
• 期刊: Applied Mathematics Letters
• 影响因子: 3.7
• 作者: Kim Sun-Chul;Okamoto Hisashi
• 通讯作者: Okamoto Hisashi

Rigorous numerics for nonlinear heat equations in the complex plane of time

复杂时间平面中非线性热方程的严格数值计算

• DOI: 10.1007/s00211-022-01291-2
• 发表时间: 2022
• 期刊: Numerische Mathematik
• 影响因子: 2.1
• 作者: Takayasu Akitoshi;Lessard Jean-Philippe;Jaquette Jonathan;Okamoto Hisashi
• 通讯作者: Okamoto Hisashi