A study of complex spherical codes and designs by algebraic methods

用代数方法研究复杂的球形代码和设计

• 批准号: 22K03410
• 负责人: 須田 庄
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03410/
• 关键词: アソシエーション・スキーム; Wittデザイン; グラフの符号付け; ブロック出材㎜; 符号; デザイン; グラフ; アソシエーションスキーム; 半正定値計画法

今年度は次の三つの研究を行った。（１）島根大学のAlexander Gavrilyuk氏との共同研究で、Witt 4-(11,5,1)デザインから得られるアソシエーション・スキームの一意性を示した。Delsarte理論からそのようなデザインからQ-多項式型アソシエーション・スキームが得られる。University of WyomingのJason WillifordによりQ-多項式型アソシエーション・スキームの分類・存在・非存在に関する表がまとめられており、この例はクラスが3の原始的なものの中で、分類が完成していなかった最小の頂点数のものである。証明は、アソシエーション・スキームの球面への表現を通じて、球面上の距離集合の問題に帰着させ、計算機を用いた。（２）中国科学技術大学のJack Koolen氏、University of LethbridgeのHadiKharaghani氏との共同研究で、スペクトル半径が最小となるような無向グラフの符号付けを考察した。そのような符号付けはラマヌジャングラフとの関連が指摘されている。本研究では、符号付けがweighing行列となるようなグラフの例を多数与えることで、スペクトル半径が最小となる例を多数構成した。また、最小となるかどうかは未解明だが、Lin-Liuの予想を満たす例も構成した。（３）Nanyang Technological UniversityのGary Greaves氏との共同研究で、正方行列から得られるブロックデザインの研究を行った。アダマール行列やアソシエーション・スキームの隣接行列といった、正則性の高い行列から2-,3-デザインを得る方法を提唱した。現在、論文を執筆中である。

今年，我们进行了以下三项研究。 (1)在与岛根大学Alexander Gavrilyuk的联合研究中，我们证明了从Witt 4-(11,5,1)设计中获得的关联方案的独特性。根据 Delsarte 理论，这样的设计产生了 Q 多项式关联方案。怀俄明大学的 Jason Williford 编制了一张关于 Q 多项式关联方案的分类、存在和不存在的表格，这个例子属于第 3 类的原始例子，但分类尚未完成。具有最少的顶点数。证明是通过在球面上表达关联方案，将其简化为球面上的距离集问题，并使用计算机来实现的。 (2)在与中国科学技术大学的Jack Koolen和莱斯布里奇大学的HadiKharaghani的联合研究中，我们考虑了最小化谱半径的无向图编码。有人指出，这种编码与拉马努金图有关。在本研究中，我们通过给出许多符号为权重矩阵的图的例子，构造了许多具有最小谱半径的例子。我们还构建了一个满足 Lin-Liu 猜想的例子，尽管尚不清楚它是否是最小值。 (3)与南洋理工大学的Gary Greaves合作，对方阵获得的分块设计进行了研究。我们提出了一种从高度规则的矩阵（例如关联方案的哈达玛矩阵和邻接矩阵）中获得 2-,3-设计的方法。目前正在写论文。

项目成果

University of Lethbridge(カナダ)

莱斯布里奇大学（加拿大）

4-(11,5,1)デザインに関連するアソシエーション・スキームの一意性

4- 与 (11,5,1) 设计相关的关联方案的唯一性

• 发表时间: 2023
• 作者: 須田庄

Nanyang Technological University(シンガポール)

南洋理工大学（新加坡）

中国科学技術大学(中国)

中国科学技术大学（中国）