Analysis of asymptotic behaviors of branching Brownian motion within frontier

边界内分支布朗运动的渐近行为分析

• 批准号: 22K03427
• 负责人: 西森 康人
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Anan National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03427/
• 关键词: 分枝ブラウン運動; maximum displacement; Feynman-Kac functionals; 分枝マルコフ過程; 分枝過程; マルコフ過程

分枝ブラウン運動の最遠方粒子までの距離に関する研究を行った。時刻tにおいて、原点から最も遠くにある粒子までの距離をL(t)で表す。分枝ブラウン運動から新たに定まるL(t)も確率過程である。このL(t)を適当な意味で‘近似’する非確率的関数R(t)を求めることが本研究の目的である。このR(t)を適切に定めることにより、半径R(t)の球面付近に存在する粒子の分布が、tを無限大にしたときに、ある確率変数をパラメータに含むポアソン分布に収束することを示した。これは時刻tが十分大きいとき、半径R(t)の球の表面付近にL(t)を実現する粒子とそれに近い粒子がどれくらい存在するか、という問いを明らかにできた結果である。しかも関数R(t)は次元数を含む。これは１次元の場合に知られていた結果よりも精密であり、新しい発見である。この論文が論文雑誌 Acta Applicandae Mathematicae に掲載されることが令和５年３月に決まった。次にL(t)とR(t)の誤差に関する研究に取り組んだ。つまり、L(t)-R(t)を適当なtの関数で割って、tを無限大にする極限を考えたとき、それがある定数に収束するかどうかを明らかにする研究である。１粒子の運動がブラウン運動に従う場合と対称安定過程に従う場合の２つについて研究に取り組んだ。１次元分枝ブラウン運動に関する先行研究であるBocharov(2021)の論文を読んで、その手法を学び、この方法を前述の２つのモデルに適用することを試みた。その研究過程で後者の対称安定過程のモデルについて、新しい発見があった。それは分枝対称安定過程に対するL(t)が指数的に増大するだろうという予測である。これについては次年度に明らかにすることを目標とする。

我们对分支布朗运动中最远粒子的距离进行了研究。在时间 t 时，从原点到最远粒子的距离表示为 L(t)。由分支布朗运动新确定的 L(t) 也是一个随机过程。本研究的目的是找到一个在适当意义上“近似”L(t) 的非随机函数 R(t)。通过适当确定R(t)，当t设置为无穷大时，半径为R(t)的球面附近的粒子分布将收敛到包含某个随机变量作为参数的泊松分布。这是因为能够澄清当时间 t 足够大时，在半径为 R(t) 的球体表面附近存在多少个实现 L(t) 的粒子以及接近它的粒子的问题。此外，函数R(t)包括维数。这是一个新发现，比一维情况下已知的结果更精确。 2020年3月决定该论文发表在Acta Applicandae Mathematicae杂志上。接下来，我们对L(t)和R(t)之间的误差进行了研究。换句话说，这是一项研究，旨在澄清当用 t 的适当函数除 L(t)-R(t) 并考虑使 t 无穷大的极限时，极限是否收敛于某个常数。我们对两种情况进行了研究：单个粒子的运动遵循布朗运动和遵循对称稳定过程。我读了Bocharov（2021）的论文，这是之前关于一维分支布朗运动的研究，学习了该方法，并尝试将该方法应用到上面提到的两个模型中。在本研究过程中，关于后一种对称稳定过程模型有了新的发现。预测分支对称稳定过程的 L(t) 将呈指数增长。目标是在明年澄清这一点。