点配置の距離構造に着目した極値組合せ論の研究

关注点排列距离结构的极值组合学研究

基本信息

批准号：
22K03402
负责人：
篠原雅史
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Shiga University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

d 次元ユークリッド空間 R^d 上の有限部分集合が k-距離集合であるとは，その相異なる二点間の距離がちょうど k 種類現れるときをいう．距離行列 D が与えられたとき，D を距離行列としてもつ点配置が R^d に実現可能かどうかは，D に付随する行列の半正定値性とランクによって判定できる．半正定値性の部分を符号数に変えることで，擬ユークリッド空間 R^{p,q} においても，距離集合の対応物を考えることができる．代表者と分担者により，擬ユークリッド空間 R^{p,q} 版の2-距離集合（2-indefinite-distance set）について次の結果を得た．（１）p, q が小さいところでの最良な点配置の分類を行った．また，いくつかの次元では最良となる，よい無限系列を構成した．この結果については現在投稿中である．（２）擬ユークリッド空間 R^{p,q} において，ハミンググラフやジョンソングラフからスイッチング操作によって得られるグラフに対する最小埋め込み次元について考察した．この結果については、現在投稿準備中である．相異なる 2 点間の距離の値が整数である点配置について，Blokuhis(1984) は素数 p を法とした距離の値がちょうど s 個となるときの頂点数の上界を得た（mod p bound）．分担者の野崎氏は Blokuhis の mod p bound を任意の代数体の整数環とその素イデアルに拡張した．この結果をまとめた論文（Bounds for sets with few distances distinct modulo a prime ideal）は Algebraic Combinatorics に掲載された．

如果两个不同点之间正好出现 k 个距离，则 d 维欧几里得空间 R^d 上的有限子集被称为 k 距离集。给定一个距离矩阵D，以D为距离矩阵的点排列在R^d中是否可实现，可以通过与D相关的矩阵的正半定性和秩来确定。通过将正半定部分更改为符号数，我们甚至可以在伪欧几里得空间 R^{p,q} 中考虑距离集的对应部分。代表人和合作者针对伪欧几里得空间R^{p,q}版本的2-不定距离集得到了以下结果。 (1) 我们对 p 和 q 较小的最佳点排列进行分类。我们还构建了一个在某些维度上最优的良好无限序列。目前正在提交结果。 (2) 在伪欧几里得空间 R^{p,q} 中，我们考虑了通过汉明图和约翰逊图的切换操作获得的图的最小嵌入维数。我们目前正在准备发布结果。对于两个不同点之间的距离为整数的点排列，Blokuhis (1984) 发现了当距离以素数 p 为模的距离恰好为 s（mod p 界）时顶点数量的上限。贡献者 Nozaki 先生将 Blokuhis 的 mod p 约束扩展到任何整数环及其素理想的代数域。一篇总结这些结果的论文（以素理想为模的距离很少的集合的界限）发表在《代数组合学》上。