Construction of a new mathematical model of grain boundary motion and development in the theory of differential equations

晶界运动新数学模型的构建及微分方程理论的发展

• 批准号: 22K03376
• 负责人: 水野 将司
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Nihon University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03376/
• 关键词: 結晶成長; Fokker-Planck方程式; Lojasiewics-Simon勾配不等式; Fokker-Planck 方程式; 動的境界条件; 曲率流方程式; 結晶成長; Fokker-Planck方程式; Lojasiewics-Simon勾配不等式; Fokker-Planck 方程式; 動的境界条件; 曲率流方程式

空間不均一な拡散性とエネルギー則をみたす非線形Fokker-Planck系の解の存在と長時間挙動の解析を行った，空間不均一な拡散性とエネルギー則を両立するためには，空間不均一性により生じる対数非線形性を取り扱う必要がある．この対数非線形性は，線形拡散に対して尺度臨界な非線形性となることがわかった．この非線形Fokker-Planck系に対し，線形化と放物型Schauder理論を用いて時間局所可解性を示した．次に，エントロピー消散法を空間不均一な拡散性に拡張することによって，解の長時間挙動，とくに可積分空間における平衡解の指数安定性を考察した．この拡張は，質量保存則における速度ベクトルの時間発展に着目したものであり，Fokker-Planck方程式のみならず，質量保存則を基礎におく様々な数理モデルに適用可能であると考えられる．次に，結晶成長の数理モデルの理解のためにグラフ解に対するLojasiewicz-Simonの勾配不等式の研究を行った．数理モデルの導出過程より，考察すべきエネルギー汎関数は自明であるが，これに対して勾配不等式を考察すべき関数空間の設定は自明でない．本研究において，数理モデルの解が持つ性質を関数空間にとりこむことで，Sobolev空間を基礎空間として，結晶成長の数理モデルに関係するエネルギー汎関数に対するLojasiewicz-Simon勾配不等式の導出を行った．現在，この勾配不等式を用いて，グラフ解の長時間挙動を考察している．結晶成長の数理モデルの理解には，三重点と呼ばれる，結晶粒界が交わる点を考察する必要がある．エネルギー消散を課したとき，この問題は微分方程式の境界条件に時間発展を課した動的境界条件の問題になる．境界条件の詳しい解析のために，非局所項を持つ境界条件を課した楕円型方程式の可解性とパラメータとの関係を考察した．

为了同时实现空间不均匀的扩散率和能量法，我们分析了非线性Fokker-Planck系统的解决方案，该解决方案在空间上符合空间不均匀的扩散率和能量法，我们需要处理由空间上的非差异性非固定性引起的，这是由空间上由不固定性非固定性非线性造成的。发现这种对数非线性是线性扩散的量表至关重要的非线性。非线性Fokker-Planck系统用于使用线性化和抛物线Schauder理论来证明时间局部溶解度。接下来，通过将熵耗散方法扩展到空间不均匀的扩散，我们检查了解决方案的长期行为，尤其是在可集成空间中平衡溶液的指数稳定性。这一扩展集中在质量保护定律中速度向量的时间演变，被认为不仅适用于福克 - 普朗克方程，还适用于基于质量保护法的各种数学模型。接下来，我们研究了Lojasiewicz-Simon的梯度不平等，以了解理解晶体生长的数学模型。从数学模型的推导过程中，要考虑的能量函数是显而易见的，但是认为梯度不平等的功能空间的设置并不明显。在这项研究中，通过将数学模型的特性纳入功能空间，我们得出了Lojasiewicz-Simon梯度不等式，用于使用Sobolev空间作为基本空间的晶体生长数学模型相关的能量功能。当前，我们正在使用这种梯度不等式来检查图形解决方案的长期行为。为了了解晶体生长的数学模型，有必要考虑晶界相交的点，称为三个点。当施加能量耗散时，此问题变成了动态边界条件，将时间演变施加在微分方程的边界条件上。对于边界条件的详细分析，我们检查了由非局部项的边界条件施加的椭圆方程的溶解度和参数之间的关系。