Geometric structure of integrable dynamical systems

可积动力系统的几何结构

• 批准号: 22K03383
• 负责人: 竹縄 知之
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Tokyo University of Marine Science and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03383/
• 关键词: 力学系; 可積分系; パンルヴェ方程式; 代数幾何; 逆問題

本年度はまず、上海大学および東京海洋大学のLi Xing氏と共同で，Quispel-Robert-Thompson写像と呼ばれる，有理楕円曲面上の力学系について，初期値問題を明示的に解くという問題に取り組んだ．この際にキーとなったのが，梶原-野海-山田が離散パンルヴェ方程式の統一的な記述のために導入した，楕円シグマ関数による楕円曲線を利用することにより，初期値の属する楕円曲線を変換することなく，直接パラメーター表示することが可能であり，初期値問題に対して簡潔な解が得られることを示した．この結果を論文にまとめ，Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical誌に投稿し，掲載された．また，上記の解の構成法を Wolfram Mathematica のプログラムとして実装したものを，論文の付録および Wolfram社のNotebook Arxiv にて公開した．次に，非線形常微分方程式の力学系としての複雑さを調べるために，逆問題への機械学習の手法の応用について研究した．特にポントリャーギンの随伴方程式について調査し，計算機上に実装した．

今年，我们首先与上海大学和东京海洋科技大学的李星合作，研究了有理椭圆面上动力系统的初值问题的显式求解问题，称为 Quispel-Robert-Thompson地图。其关键在于使用基于椭圆 sigma 函数的椭圆曲线，该函数是由 Kajiwara-Noumi-Yamada 为统一描述离散 Painlevé 方程而引入的，来计算初始值所属的椭圆曲线。表明可以直接表达参数而无需转换，并且可以获得初值问题的简洁解决方案。结果总结在一篇论文中，并提交给《物理学杂志A：数学与理论》发表。此外，上述解决方案构建方法被实现为 Wolfram Mathematica 程序，并发布在论文附录和 Wolfram Inc. 的 Notebook Arxiv 中。接下来，为了研究非线性常微分方程作为动力系统的复杂性，我们研究了机器学习方法在反问题中的应用。特别是，我们研究了庞特里亚金伴随方程并在计算机上实现了它。

项目成果

上海大学(中国)

上海大学（中国）