分散型方程式の非線型項と散乱作用素の多角的考察

分布式方程中非线性项和散射算子的多方面考虑

基本信息

批准号：
22K03367
负责人：
佐々木浩宣
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Chiba University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

令和４年度は主に、空間２次元の非線型クライン・ゴルドン方程式における散乱の逆問題について研究した。ここで、「方程式の非線型項N(u)は（uに関して）滑らかであり、幾つかの設定がなされているが、詳細な情報・形状は未知である」と仮定している。（目標）散乱作用素の情報が既知であるとしたときに、未知なるNを同定すること。（背景）N(u)がかなり具体的に与えられていて、未知な情報が極僅かである場合は、幾つかの結果が知られている。その場合、「小振幅極限」が有効である。「小振幅極限」はいわば散乱作用素の１次近似に相当するもので、様々な散乱の逆問題に利用されている。一方、今回の設定では、未知な情報が非常に多く、「小振幅極限」だけではNの同定には程遠い状況となる。従って、新たな手法を確立する必要がる。（主結果）今年度は、散乱作用素のｎ次近似に相当する評価式を証明し、それを利用することで、「Nの（原点に於ける）ｎ次微分係数を一意に再構成する公式」を確立した。なお、この公式は、ｎ次未満の微分係数が未知であっても適用可能となる。更に、系として、散乱作用素の（原点に於ける）ｎ次ガトー微分係数を求めることが出来た。（応用例）「Nが多項式であることが分かっている場合」であれば、当該公式を用いることでNそのものを一意に再構成することが証明される。これらの結果は学術論文として纏められ、査読付き国際学術雑誌へ投稿する予定である。

2020年主要研究二维非线性Klein-Gordon方程中的散射反问题。这里，假设“方程中的非线性项N(u)是平滑的（相对于u），虽然已经进行了一些设置，但详细信息和形状未知”。（目标）当散射算子的信息已知时，识别未知的 N。（背景）当 N(u) 非常具体地给出并且未知信息非常少时，几个结果是已知的。在这种情况下，“小幅度限制”是有效的。 “小振幅极限”对应于散射算子的一阶近似，并且用于各种逆散射问题。另一方面，在这种设置下，存在大量的未知信息，仅利用“小幅度限制”来识别N是远远不可能的。因此，有必要建立一种新的方法。（主要成果）今年，我们将证明一个对应于散射算子的n次近似的评估公式，并利用它，我们将创建一个唯一重建N的n次微分系数（在原点）的公式）”成立。注意，即使小于n阶的微分系数未知，也可以应用该公式。此外，作为一个系统，我们能够获得散射算子的第n个Gato微分系数（在原点）。（应用示例）如果“已知N是多项式”，则证明N本身可以利用该公式唯一地重构。这些结果将被总结为学术论文，并将提交给经过同行评审的国际学术期刊。