Mould 解析を用いた Resurgence 理論の研究

基于模具分析的回潮理论研究

• 批准号: 22K03355
• 负责人: 神本 晋吾
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Hiroshima University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03355/
• 关键词: Resurgence 理論; 完全WKB解析; Borel 総和法; Stokes 現象; Mould 解析; WKB解析

令和４年度は, １次元シュレディンガー方程式のWKB解のリサージェンス構造に関する研究を行った. これに関して, 断片的には多くのことがわかっているが, WKB解のリサージェンス性については明確な解答が与えられておらず, 当該分野における重要な未解決問題となっている. このリサージェンス性の解明のためには, WKB解の Borel 変換像の持つ「動く特異点」と「動かない特異点」がどのように現れるか, そして, これらの定める Riemann 面のシート構造の記述が必要となる.当初の研究計画では, Borel 平面上での直接的な解析を行うことにより, これらの構造の記述を行う予定であったが, これは困難であったため, WKB解の Stokes 現象からリサージェンス構造を復元するという方針で研究を行った. 簡単のため, 今年度は多項式ポテンシャルで単純変わり点のみを持つ場合について考察を行った. そして, 無限遠点で正規化されたWKB解について, discrete filtered set を用いた Borel 平面上の特異点のシート構造に関する記述が得られた. この結果によりWKB解のリサージェンス構造の解明に大きく近づいたように思われる. ただ, この記述法では, シート構造が細かくなり過ぎてしまうため, より精密な記述法の考案が必要であり, この点は今後の課題となった. また, Delabaere-Dillinger-Pham による alien 微分に関する公式と本質的に等価なものではあるが, Voros 係数に対する Bridge 方程式も得ることができた.

2020年，我们对一维薛定谔方程的WKB解的复苏结构进行了研究，尽管这方面的知识很多，但关于WKB解的复苏性质还没有给出明确的答案，这是一个重要的问题。为了阐明这一领域的未解决问题，Borel 进行了研究。有必要解释一下变换图像的“动奇点”和“不动奇点”是如何出现的，以及由它们定义的黎曼曲面的片状结构。在最初的研究计划中，我们计划通过进行的直接分析，但这很困难，因此我们进行研究的目的是从 WKB 解的斯托克斯现象中恢复复苏结构，今年，我们考虑了仅具有简单转折点的多项式势的情况，然后，对于无穷大归一化的 WKB 解，我们使用离散滤波集编写了 Borel 平面上奇点的片结构的描述。结果，我们似乎在阐明 WKB 解决方案的复苏结构方面取得了很大的进展。然而，使用这种描述方法，片结构变得过于精细，因此有必要设计一种更精确的描述方法。这一点仍然是一个未来的话题。此外，我们还能够得到 Voros 系数的 Bridge 方程，它本质上等价于外星微分的 Delabaere-Dillinger-Pham 公式。

项目成果

IRMA/IMCCE(フランス)

IRMA/IMCCE（法国）