New developments for pathologies on singularities in positive characteristic

阳性特征奇点病理学新进展

• 批准号: 22K03254
• 负责人: 伊藤 浩行
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03254/
• 关键词: 正標数代数曲面; 特異点; 群スキーム商; (準)楕円曲面; 正標数; 代数曲面; 群スキーム

本研究は正標数代数多様体の病理現象の解明に必要不可欠である、有限群の野生的作用の理解を有限群スキームによる作用の立場から研究し、病理的現象を包含する一般理論の構築を目指すものであり、3つの目的を掲げ研究を行っている。以下、初年度である2022年度に進捗のあった内容について述べる。目的の一つに、有理二重点をモデルとし、各特異点を有限群スキーム商や導分商として捉え直すことで、その「表現論」の構築、そしてMcKay対応の理解へと繋げるものがあった。今年度は特に、標数をpとしたとき、位数がpである有限群による作用の商と長さがpである加法的有限群スキームの作用による商を変形で繋げ、tautではな特異点を記述することでより多くの正標数特有の病理現象の解明にあたった。特異点に限らず準ファイブレーションの存在などの幾何学的現象などの多くの病理現象では、背後にこのような野生的作用と群スキームによる作用があり、全容の解明には遠いが一つ一つ背後にある群および群スキーム作用を具体的現象を通して理解をしている。また、これらの作用を統一的に扱うためには、作用を(擬)導分による商として記述しその変形理論を構築する必要があるが、これまで入られた変形、すなわち導分作用から(擬)導分作用への持ち上げについては微分方程式を解かなければならず標数が2の場合の結果以外には、全ての標数に有効であるような完全に満足のいく結果には至っていない。しかしながら、その前提条件となる加法的群スキーム作用からきまる導分の標準形については、年度途中から開始したに三井氏との共同研究により大きな進展を得ることができている。局所2次元の正則環に対する加法的導分の標準形について標数が2以外の場合に必要十分条件に近い条件がもとまっている。目的の二つ目として、これらの結果を特別な多様体へ適用するものがあったがこれについては進展はまだである。

本研究的目的是从使用有限群方案的作用的角度来理解有限群的狂野作用，这对于阐明正特征代数簇的病态现象至关重要，并构建包括病态现象的一般理论。牢记三个目标。下面，我们将讨论第一年 2022 财年取得的进展。目的之一是使用有理双点作为模型，并将每个奇点重新考虑为有限群方案商或导数商，这将导致“表示理论”的构建和对麦凯塔对应的理解。 。特别是，今年，当特征为 p 时，我们将变换 p 阶有限群的作用商和长度为 p 的加性有限群方案的作用商，并使用 来描述点，我们能够阐明更多特定于积极特征的病理现象。许多病态现象，不仅包括奇点，还包括准纤维的存在等几何现象，都具有如此狂野的影响和基于其背后的群方案的影响，尽管还远未阐明全貌，但可以理解每一种现象通过具体现象了解底层群体和群体方案的影响。此外，为了以统一的方式处理这些作用，有必要将这些作用描述为（伪）导数的商并构建它们的变换理论。为了将方程提升为伪导数作用，我们。必须求解一个微分方程，除了特征 2 的结果之外，我们还没有达到对所有特征都有效的完全令人满意的结果。然而，作为其先决条件的加法群方案行动所确定的衍生品的标准形式，我们通过与三井先生的联合研究取得了重大进展，该研究从今年年中开始。 。当特征值不为 2 时，局部二维正则环的加性导数的标准形式具有接近充要条件的条件。第二个目标是将这些结果应用于特殊流形，但在这方面尚未取得任何进展。