レゾナントパラメータを持つA-超幾何微分方程式系の代数的・組み合わせ論的研究

具有共振参数的A-超几何微分方程组的代数和组合研究

• 批准号: 22K03241
• 负责人: 齋藤 睦
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03241/
• 关键词: A-超幾何微分方程式系; フロベニウスの方法; A-超幾何系

ゲルファント流のA-超幾何微分方程式系は，トーリックイデアルで定義されてあり，代数幾何学におけるトーリック多様体のように，種々の不変量が組み合わせ的言葉で記述できる。パラメータがジェネリックの場合は，ある程度記述できているが，パラメータがレゾナントのときは，容易ではない。以前，A-超幾何微分方程式系の分類を考察したときに定義した組み合わせ的な概念（Aの生成する半群，Aの面，パラメータベクトルによる）で，A-超幾何微分方程式系の全ての不変量は記述できる筈で，それらの記述を行うことが本研究の目的である。とりわけ，ランクの簡便な記述を目的とする。また，A-超幾何微分方程式系の解の具体的記述も目的である。特に，フロベニウスの方法を用いたlog解の構成を行い，基本解の構成を目指す。2022年度においては，主に最も基本的なA-超幾何微分方程式系である青本-ゲルファント系について考察した。解の構成やその他の概念においてもAの凸包の3角形分割を考えることをしなければいけない。（正則）3角形分割全体を記述するのがセカンダリー・ファンと呼ばれるものだが，最も基本的な青本-ゲルファント系でさえ，具体的には良く分かっていない。青本-ゲルファント系のAの凸包の3角形分割として良く知られたステアケース3角形分割というものがある。しかし知られていることだが，Aの凸包が（2次元の）3角形の直積になるような非常に小さい場合でさえステアケースでない3角形分割がある。その例について確認した。

Gelfand 的 A-超几何微分方程组是根据环面理想定义的，各种不变量可以用组合术语描述，就像代数几何中的环面簇一样。如果参数是通用的，可以在一定程度上描述，但如果参数是共振的，那就不容易了。这是我们在考虑A-超几何微分方程组的分类应该能够描述时定义的一个组合概念（基于A生成的半群、A的曲面和参数向量）。这项研究的目的是描述它们。特别是，它旨在提供等级的简单描述。另一个目的是具体描述A-超几何微分方程组的解。特别是，我们的目标是通过使用 Frobenius 方法构造对数解来构造基本解。 2022年，我们主要考虑Aomoto-Gelfand系统，这是最基本的A-超几何微分方程系统。关于解的构造和其他概念，我们还必须考虑A的凸包的三角剖分。描述整个（规则）三角划分的系统称为二次扇，但即使是最基本的青本-格尔范德系统也没有得到很好的理解。阶梯三角剖分是 Aomoto-Gelfand 系统中 A 的凸包的著名三角剖分。然而，众所周知，即使在 A 的凸包是（二维）三角形的直积的非常小的情况下，也存在非阶梯三角剖分。我检查了这个例子。