臨界型変分問題に付随する非コンパクト現象及び関連する諸問題の解析

与临界变分问题和相关问题相关的非紧现象分析

基本信息

批准号：
18J01053
负责人：
佐野めぐみ
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

当該年度は、臨界Sobolev空間からLorentz-Zygmund空間への埋め込みから現れる関数不等式の最良定数に付随する最小化問題について考察し、最小化関数の存在・非存在および最小化関数の球対称性の破れに関する研究成果をあげた。特にHoriuchi-Kumlin論文(2012)及び日本数学会出版の数学の論説(2016年1月号)の堀内氏の記事でも指摘された未解決問題に関して考察し、解答を得た。より具体的には最小化問題に入っているあるパラメータに関する閾値を境にして、最小化関数の存在・非存在が変わることを示した。また最小化関数が球対称関数ではない（球対称性の破れ）ことを示すことにも成功した。これらの研究結果は学術論文としてまとめられ、掲載決定済みである。そして交付申請書に記載した研究目的である「高階及び分数階の臨界Hardy不等式の作成」に向けて、臨界Hardy不等式に対する補外理論的な新たな導出に成功した。補外理論とは作用素の有界性など実解析の分野でしばしば現れ、端的に言えば「劣臨界の形から臨界の形を導出しよう」というものであり、例えばSobolevの不等式に対しては、N.Trudingerにより既に1967年に考察されたものであるが、Hardy不等式に関してはパラメータに依存した重み関数があるため未知であった。臨界Hardy不等式は１階の微分が入った関数不等式であるが、より高階の場合にもある程度は拡張可能であることについても考察を行った。特に今回の手法を用いると、高階の場合で、内積の構造がなく、あまり研究が進んでいないL^2ベース以外でも高階の臨界Hardy不等式を得ることができる。これらの研究結果に関しては、現在論文原稿を作成中である。

今年，我们将考虑将临界 Sobolev 空间嵌入 Lorentz-Zygmund 空间时出现的与函数不等式最佳常数相关的最小化问题，并研究最小化函数是否存在以及是否违反我们已经取得了关于极小化函数的球对称性的研究成果。特别是，我对Horiuchi-Kumlin论文（2012年）和日本数学会出版的数学社论（2016年1月号）中Horiuchi先生的文章中指出的未解决的问题进行了思考并找到了答案。更具体地说，我们表明最小化函数的存在或不存在根据与最小化问题中包含的特定参数相关的阈值而变化。我们还成功地证明了最小化函数不是球对称函数（球对称性已破缺）。这些研究结果已被汇编成学术论文并已获准出版。我们成功地推导了临界哈代不等式的新外推理论，以实现拨款申请中所述的研究目标，“创建高阶和分数阶的临界哈代不等式”。外推论经常出现在实分析领域，比如算子有界性，简单来说就是“从亚临界形式推导出临界形式”。例如，对于索博列夫不等式，虽然它已经被考虑过N. Trudinger 在 1967 年提出，Hardy 不等式是未知的，因为存在一个取决于参数的权重函数。虽然临界Hardy不等式是一个包含一阶微分的函数不等式，但我们也认为它可以在一定程度上推广到更高阶的情况。特别是，使用该方法，即使在L^2基以外的高阶情况下，也可以得到高阶临界Hardy不等式，而L^2基没有内积结构，研究还不是很多。关于这些研究成果，我们目前正在准备论文手稿。