特異点を持つ曲面の局所及び大域的性質の研究

研究具有奇点的表面的局部和全局特性

• 批准号: 17J02151
• 负责人: 寺本 圭佑
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-26 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J02151/
• 关键词: 波面; カスプ辺; ツバメの尾; ガウス写像; 回転面; 特異点; 混合型曲面; 焦曲面; 平行曲面; 距離二乗関数; 主曲率

本研究では、特異点を持つ曲面の微分幾何学的性質について以下の結果を得た。1．非退化特異点を持つ波面のガウス写像に現れる特異点の型を主曲率関数の振る舞い(峰点、主曲率関数のヘッセ行列の符号)によって特徴づけた。特に、カスプ辺に対して、その微分幾何学的不変量とガウス写像に現れる特異点の関係を示した。また、カスプ辺の特異点集合と対応するガウス写像の特異点集合との接触具合を考察し、ガウス曲率のある種の有界性との関連を示した。2．3次元双曲空間内の平坦波面と対応して得られる3次元ド・シッター空間内の空間的平坦波面のカスプ辺における不変量の双対性について考察を行った。特に、どちらの場合も、カスプ辺に沿って特異曲率が負になることを示した。また、一方の特異点集合が曲率線を与えるとき、他方は錘状特異点を持つことを示した。本研究は、佐治健太郎氏(神戸大学)との共同研究である。3．ルジャンドル曲線の回転面についての研究を行った。ルジャンドル曲線とは、特異点を許容する平面曲線であり、特異点においても動標構が定まるものをいう。この曲線の回転面は一般に特異点を持ち、枠付き曲線と呼ばれるクラスに属する。本研究では、与えられた関数をガウス曲率や平均曲率に持つ回転面の構成法、回転面に現れる特異点の型とルジャンドル曲線の曲率の関係、錘状特異点の分類などを与えた。なお、本研究は、高橋雅朋氏(室蘭工大)との共同研究である。4．3次元ローレンツ多様体内の混合型曲面に対して、光的点の近くでのガウス曲率の挙動を調べた。また、第k種光的点の概念を定義し、第1種光的点における不変量の定式化を行った。この不変量とガウス曲率の挙動の関係についての結果を得た。本研究は、本田淳史氏(横浜国大)と佐治健太郎氏との共同研究である。

在这项研究中，我们获得了有关具有奇点的曲面的微分几何性质的以下结果。 1.具有非简并奇点的波前高斯图中出现的奇点类型由主曲率函数的行为（峰值点，主曲率函数的 Hessian 矩阵的符号）来表征。特别是，我们展示了微分几何不变量与尖点边缘高斯图中出现的奇点之间的关系。我们还考虑了尖点边缘的奇点集与高斯图对应的奇点集之间的接触程度，并表明它与高斯曲率的某种有界性有关。 2. 我们考虑了三维德西特空间中的空间平坦波前的尖点边缘处的不变量的对偶性，该波前对应于三维双曲空间中的平坦波前。特别是，我们表明，在两种情况下，奇异曲率沿着尖点边缘都变为负值。我们还表明，当一个奇点集给出曲率线时，另一奇点集给出圆锥形奇点。这项研究是与佐治健太郎（神户大学）的共同研究。 3.我们对勒让德曲线的旋转平面进行了研究。勒让德曲线是允许奇异点的平面曲线，即使在奇异点处也可以确定移动坐标系。该曲线的旋转曲面通常具有奇点，属于称为框架曲线的一类。在这项研究中，我们提出了一种用给定函数的高斯曲率或平均曲率构造旋转表面的方法，旋转表面上出现的奇点类型与勒让德曲线曲率之间的关系，以及锥形奇点的分类。本研究是与高桥正友先生（室兰工业大学）的共同研究。 4. 我们研究了三维洛伦兹流形中混合曲面光点附近高斯曲率的行为。我们还定义了第k类光点的概念，并制定了第一类光点的不变量。我们获得了有关该不变量与高斯曲率行为之间关系的结果。这项研究是与本田敦（横滨国立大学）和佐治健太郎的共同研究。

项目成果

Characterizing singularities of a surface in Lie sphere geometry

• DOI: 10.14492/hokmj/1562810509
• 发表时间: 2017-03
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal
• 影响因子: 0.5
• 作者: M. Pember;W. Rossman;K. Saji;Keisuke Teramoto

3次元ローレンツ多様体内の有界なガウス曲率を持つ混合型曲面

3 维洛伦兹流形中具有有界高斯曲率的混合曲面

• 发表时间: 2019
• 作者: Honda;Atsufumi; Saji;Kentaro;Atsufumi Honda;本田淳史;Atsufumi Honda;本田淳史;本田淳史;本田淳史;本田淳史，佐藤愛媛;本田淳史;本田淳史，佐藤愛媛;本田淳史;本田淳史，直川耕祐，佐治健太郎，梅原雅顕，山田光太郎;本田淳史
• 通讯作者: 本田淳史

Constant mean curvature with $D_4$-singularities

具有 $D_4$ 奇点的恒定平均曲率

• 发表时间: 2018
• 期刊: Advanced Studies in Pure Mathematics
• 作者: Mason Pember;Wayne Rossman;Kentaro Saji;Keisuke Teramoto;Y. Ogata and K. Teramoto
• 通讯作者: Y. Ogata and K. Teramoto

FOCAL SURFACES OF WAVE FRONTS IN THE EUCLIDEAN 3-SPACE

欧几里得 3 空间中波前的焦面

• DOI: 10.1017/s0017089518000277
• 发表时间: 2019
• 期刊: Glasgow Mathematical Journal
• 影响因子: 0.5
• 作者: Ebisawa;Y.;海老澤 勇治;TERAMOTO KEISUKE
• 通讯作者: TERAMOTO KEISUKE

Principal curvatures and parallel surfaces of wave fronts

波前的主曲率和平行面

• 发表时间: 2018
• 期刊: Advances in Geometry
• 影响因子: 0.5
• 作者: Mason Pember;Wayne Rossman;Kentaro Saji;Keisuke Teramoto;Y. Ogata and K. Teramoto;K. Teramoto
• 通讯作者: K. Teramoto