混合ホッジ加群の理論を用いた特異点の研究

利用混合Hodge模理论研究奇点

• 批准号: 17J00480
• 负责人: 齋藤 隆大
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-26 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J00480/
• 关键词: 混合ホッジ加群; 特異点論; 非孤立特異点; ミルナーモノドロミー; ミルナーファイブレーション; 混合ホッジ構造

本年度は4月から10月まで当該科研費を利用してフランスのエコールポリテクニークに滞在し，Claude Sabbah氏と議論を行い，主に二つの研究を行った．「非孤立特異点のミルナーファイバー・モノドロミーの研究」ニュートン多面体に関して非退化なn変数複素多項式を考え，複素n次元空間の原点はこの多項式で定義される超曲面の特異点であるとする．これが孤立特異点である場合，ミルナーファイバーの非自明なコホモロジー群は中間次数のみであり，さらにこのコホモロジー群の混合ホッジ構造に関する重みフィルトレーションはミルナーモノドロミーのモノドロミーフィルトレーションである．非孤立特異点に対してこれは一般には成り立たないが，私は前年度までの研究でニュートン多面体から複素数体の有限部分集合を定義し，その集合に属さない固有値に関しては「コホモロジー群の集中」及び「重みフィルトレーションとモノドロミーフィルトレーションの一致」が成立する事を示した．今年度の研究により，この事実の証明が簡略化され，最終的にこれらの結果をまとめた論文がAdvances in Mathematicsに掲載された．「モノドロミックな混合ホッジ加群のホッジフィルトレーションの研究」複素1次元空間上の混合ホッジ加群を考える．この下部D-加群がモノドロミックであるとき．このD-加群は自然に有限次元ベクトル空間の直和に分解する．私はこの条件下でホッジフィルトレーション，及び重みフィルトレーションもこの分解に従って直和分解するという事を示した．これを用いてこのD-加群のフーリエ変換上の不確定ホッジフィルトレーションが自然に混合ホッジ加群を定める事を示した．さらにこの結果を複素n次元空間上の混合ホッジ加群に対して拡張した．

今年4月至10月，我利用科研助学金留在法国综合理工学院，与克洛德·萨巴进行了座谈，主要进行了两类研究。 “非孤立奇点的米尔纳纤维单峰性研究”考虑牛顿多面体的非简并 n 变量复多项式，并假设复 n 维空间的原点是由该多项式定义的超曲面的奇点。如果这是孤立奇点，则米尔纳纤维的非平凡上同调群只是中阶的，而且该上同调群相对于混合霍奇结构的权重过滤是米尔纳单向的单向过滤。这对于非孤立奇点来说通常并不成立，但在我直到前一年的研究中，我定义了牛顿多面体复数的有限子集，对于不属于该集合的特征值，我使用“上同调群的浓度”。还表明“重量过滤与单性过滤的一致性”成立。今年的研究简化了这一事实的证明，总结这些结果的论文最终发表在《数学进展》上。 “单向混合 Hodge 模的 Hodge 过滤研究” 考虑复杂一维空间中的混合 Hodge 模。当这个较低的 D 模是单向的时。该 D 模块自然地分解为有限维向量空间的直和。我证明，在这种情况下，霍奇过滤和权重过滤也根据这种分解分解成直和。利用这一点，我们表明该 D 模块的傅里叶变换上的不确定 Hodge 过滤自然决定了混合 Hodge 模块。此外，我们将此结果扩展到复杂 n 维空间中的混合 Hodge 模块。