高解像光トモグラフィの実現に向けての数学的基礎研究

实现高分辨率光学层析成像的基础数学研究

基本信息

批准号：
21654016
负责人：
磯祐介
金额：
$ 1.92万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

次世代の医用トモグラフィと期待される光トモグラフィの基礎研究として、輸送方程式の数学解析および数値解析の研究を展開している。平成22年度には方程式中の係数等の摂動における弱解の安定性、ならびに定常問題の場合の新たな数値計算アルゴリズムの提案を行うと共に、多くの数値計算事例の蓄積を行った。先行研究においては基礎方程式である輸送方程式の解を拡散方程式の解で近似したことが開発研究上の閉塞を招いたと考え、輸送方程式を直接扱う研究の展開を行っている。しかし平成21年度に集取した文献の精査を行った結果、光トモグラフィの高精度な実現に対しては、輸送方程式モデルにおいても検討すべき課題が残っていることがわかった。これは減衰項と散乱項の正当性に関するもので、このような根本的な問題意識に至ったことは、本課題研究による大きな進歩と考えられる。同時にこれらの項のL^∞摂動に対してL^P-弱解が安定であることも証明され、光トモグラフィを輸送方程式の逆問題として実現することの困難さも改めて確認した。定常モデルの場合には効率の良い反復型数値計算法の新たな提案を行ったが、計算機の並列性とこのアルゴリズムの効率の問題は、数値計算例による事例研究の蓄積に留まっている。2年間の研究を通し、輸送方程式モデルを利用して光トモグラフィの開発研究を行うことは、拡散方程式を用いて行われた先行研究よりも優位性があることが幾つかの点で指摘された。しかし一方で過去に看過されてきた幾つかの事項の重要性がわかり、輸送方程式を基礎方程式とする光トモグラフィの基礎研究の一層の深化が必要であることが確認された。また、多倍長数値計算に+係る幾つかの成果も研究課程で得られた。

作为有望成为下一代医学断层扫描的光学断层扫描的基础研究，我们正在进行传输方程的数学和数值分析的研究。 2010年，我们研究了方程系数摄动下弱解的稳定性，提出了新的平稳问题数值计算算法，积累了许多数值计算实例。在以往的研究中，我们认为通过求解扩散方程来近似求解作为基本方程的输运方程，导致了开发研究的障碍，因此我们正在开展直接处理输运方程的研究。然而，仔细研究2009年收集的文献后发现，为了实现高精度的光学层析成像，传输方程模型仍然存在需要考虑的问题。这关系到衰减项和散射项的有效性，我们已经达到这一基本认识这一事实被认为是通过这项研究取得的重大进展。同时，证明了L^P-弱解在这些项下对于L^∞扰动是稳定的，并且我们再次证实了实现光学层析成像作为输运方程的反问题的难度。在平稳模型的情况下，我们提出了一种新的高效迭代数值计算方法，但计算机并行性和该算法的效率问题仍然仅限于基于数值计算实例的案例研究的积累。通过两年的研究，人们指出使用传输方程模型进行光学层析成像开发研究比以前使用扩散方程的研究具有几个优点。但另一方面，我们认识到了一些过去被忽视的问题的重要性，并确认有必要进一步深化以输运方程为基本方程的光学层析成像基础研究。此外，在研究过程中还获得了一些与多精度数值计算相关的成果。