変分法を用いた非線形微分方程式の解析

使用变分法分析非线性微分方程

基本信息

批准号：
10J01561
负责人：
生駒典久
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

研究の成果平成23年度に実施した研究は以下の通りである.1.非線形光学の分野に現れる非線形連立Schrodinger方程式系の解析.2.完全非線形楕円型作用素に対する固有値,固有関数の研究.まず,1の研究の具体的な内容,意義等について説明する.得られた成果としては,屈折率を支配する方程式の拡散係数が0に収束させたとき,基底状態解とそのエネルギーの挙動を解明した.この系は本来屈折率が非局所的に影響を及ぼしている.しかし,拡散係数が0に収束するとその効果は局所的なものになると考えられる.このことを厳密な数学解析の手法を用いて証明を行った.この方程式系に関する結果としてはコンピューターを用いた数値解析の結果しかないように思われる.したがって,本年度に得られた厳密な数学解析の結果は意義を持っていると思われる.次に2の研究について述べる.得られた結果は,2次元以上の場合,球対称性と比較的弱い可積分条件を課した下で固有値,固有関数の列の存在,その単純性,完全性を示した.言い換えれば,球対称な固有関数を全て見つけ,全ての固有値の重複度は1であることも示した.この結果の意義等について説明する.まず,上の結果は微分ゲームの分野等において現れるHamilton-Bellman-Jacobi作用素等を含んでおり,大変広範な作用素に適用できる.さらに,重要に思われることは,作用素に対する可積分性の条件である.この可積分性の条件は,現在の完全非線形楕円型方程式の解の存在理論の視点から見ても,最良に近いものである.したがって,この部分だけを見ても重要性があるように思われる.また,これらの結果が,非線形項がある方程式系の解析に役立つことも期待できるので,今回の結果は意義があるものだと思われる.

研究成果2011年进行的研究如下：1、非线性光学领域出现的非线性联立薛定谔方程组的分析2、完全非线性椭圆算子的特征值和特征函数的研究一、1的研究。我们将解释这个系统的具体内容和意义。由此，我们阐明了当控制折射率的方程的扩散系数收敛到0时基态解及其能量的行为。原来是弯曲的折射率具有非局部影响。然而，当扩散系数收敛到0时，该影响被认为是局部的。我们使用严格的数学分析方法证明了这一点，似乎关于该方程组的唯一结果是。使用计算机进行数值分析的结果。因此，今年获得的严格数学分析的结果被认为是有意义的。结果表明，在二维或多维情况下，存在球对称性和相对较弱的可积条件，一系列特征值和特征函数的存在性、简单性和完整性。换句话说，球对称特征函数我们找到了所有函数并且还证明了所有特征值的重数为1。我们将解释这个结果的意义。首先，上面的结果可以用来解释微分博弈领域中出现的Hamilton-Bellman-Jacobi算子等包含的范围非常广泛。它可以应用于算子。似乎也很重要的是算子的可积条件。从当前完全非线性椭圆方程解的存在主义理论的角度来看，这个可积条件也成立，它接近于最佳解。因此，单独看这一部分似乎很重要。而且，我们可以预期这些结果将有助于分析具有非线性项的方程系统，因此我们将在这里讨论它们。结果似乎很重要。