安定点つき写像を用いた代数幾何的補間問題の研究

利用稳定点图研究代数几何插值问题

基本信息

批准号：
10J00849
负责人：
大川新之介
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Osaka University (2012)The University of Tokyo (2010-2011)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J00849/
关键词：
導来圏半直交分解例外対象 quiver 非可換射影平面 Mori dream space variety of Fano type Variety of Calabi-Yau type Cox ring Geometric invariant theory Okounkov body

项目摘要

本年度は、主に射影代数多様体の連接層の導来圏の半直交分解について研究を行った。一つ目の成果としては、極小モデルプログラム(MMP)と半直交分解(SOD)との関連について新しい視点を与える結果が得られた。これは、従来知られていた「MMPはSODを引き起こす」という予想の逆が或る場合に成立する、という結果である。第一に、標準線型系の固定点集合が有限なものについてはその導来圏がSODを持たないということを証明した。さらに問題を2次元の場合に詳しく調べ、より弱く、極小かつ標準線型系が空でないという仮定だけで同じ結論が得られるということを(一般型の場合を除いて)証明した。これらについて現在プレプリントを作成中である。また、これらの成果について研究集会にて4度発表をした。尚、研究の途中でSODがある種の圏同値に関して剛性を持つということを証明した。これは今回の研究で重要な役割を果たしたが、他の応用も期待できると思っている。半直交分解の特別な例として、例外対象と呼ばれるものから引き起こされるものがある。これは小平次元が負の多様体上で多く見つかるのであるが、これに関して興味をそそる例が構成できた。具体的には、5次元以上のtoric Fano多様体上の例外対象であって、層のシフトと同型にならないものが構成できた。このような例は2次元Fano多様体上では存在しないことが知られており、高次元では状況がより複雑であるということを示唆する。3,4次元の場合にこのような例が作れるか、という問題も興味深い。さらに、射影平面の非可換変形についても研究をした。Hochschild cohomology群の計算から変形は障害を持たず、さらに10次元あることが期待される。これを、Beilinson quiverのrelationを変形するという観点から調べた。その結果、対応するGIT問題に本質的に安定性条件が唯一存在することや、それについて射影平面が半安定であることを証明できた。これらの成果についてはプレプリントを作成中である。

今年我们主要研究了射影代数簇的连通轮导出范畴的半正交分解。第一个结果是对最小模型程序（MMP）和半正交分解（SOD）之间关系的新视角。该结果表明，与传统已知的“MMP导致SOD”的预测相反，在某些情况下成立。首先，我们证明对于具有有限不动点集的标准线性系统，派生类别不具有 SOD。他进一步在二维情况下详细研究了该问题，并证明通过简单地假设较弱的无穷小标准线性系统非空，可以得出相同的结论（一般情况除外）。我们目前正在为这些内容创建预印本。此外，这些结果在研究会议上提交了四次。在我的研究过程中，我证明了 SOD 对于某些类别等价性具有刚性。这在这项研究中发挥了重要作用，但我认为它也有其他应用的潜力。半正交分解的一个特殊例子是由所谓的异常对象引起的。这经常出现在具有负小平维度的流形上，我们能够构建一个有趣的例子。具体来说，我们能够在五维或更多维的环面 Fano 流形上构造一个特殊的对象，该对象与层的移动不同构。已知这样的例子在二维 Fano 流形上不存在，这表明在更高维度中情况更加复杂。在 3 维或 4 维的情况下是否可以创建这样的例子的问题也很有趣。此外，我们还研究了射影平面的非交换变形。根据 Hochschild 上同调群的计算，我们预计变形将是无阻碍的，并且会有额外的 10 个维度。我们从改造贝林森箭袋关系的角度对此进行了研究。结果，我们能够证明相应的 GIT 问题本质上只有一个稳定性条件，并且射影平面对于它来说是半稳定的。目前正在准备这些结果的预印本。