ＬＭＯ関手の拡張を用いた境界付き曲面とコボルディズムの研究

使用 LMO 函子的扩展研究有界曲面和 coboldism

基本信息

批准号：
16J07859
负责人：
野崎雄太
金额：
$ 1.09万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究課題「ＬＭＯ関手の拡張を用いた境界付き曲面とコボルディズムの研究」における境界付き曲面とコボルディズムについて、そのホモロジー類似であるホモロジーコボルディズムを通して研究を行った。ホモロジーコボルディズムとは、ホモロジー的に「境界付き曲面と閉区間の直積」であるような、ある種の境界付き 3 次元多様体である。ホモロジーコボルディズムの境界を適切に貼り合わせることにより、閉 3 次元多様体が得られる。逆に任意の閉 3 次元多様体 X はそのようにして得られることが知られており、X の位相不変量 hc(X) を定義することができる。今年度の主な研究成果は、X に「円周と球面の直積 S^1xS^2」を連結和した際に hc がどのように変化するかを表す次の等式を証明したことである：hc(X#2S^1xS^2)=hc(X)+1。この等式と逆井氏の先行研究を合わせることで、hc(X) の計算は有理ホモロジー 3 球面 Y に対して hc(Y) 及び hc(Y#S^1xS^2) を計算することに帰着される。有理ホモロジー 3 球面の中で最も基本的なものはレンズ空間 L(p,q) であり、昨年度の研究において等式 hc(L(p,q))=1 を証明し、その系として hc(L(p,q)#S^1xS^2) の計算も完了している。これらと今年度の成果を合わせることで、1 次ホモロジー群のねじれ部分群が巡回群の場合に hc(X) を完全に決定することに成功した。hc(X) の計算に関して、ねじれを持つ場合を含む広いクラスに対する計算結果は知られておらず、大きな前進となった。また hc(X) と深く関係するホモロジーファイバー結び目についても研究し、有理ホモロジー 3 球面内のヌルホモロガスな結び目がホモロジーファイバー結び目であるための必要十分条件を Alexander 多項式を用いて与えた。

我们在研究主题“使用 LMO 函子的扩展来研究有界曲面和 coboldism”中通过它们的同源类似物同源 coboldism 研究了有界曲面和 coboldism。同调共流主义是一种有界 3 维流形，它是有界曲面和闭区间的同调直积。通过适当地将同调共流形的边界粘贴在一起，可以获得一个封闭的三维流形。反之，已知这样可以得到任意闭三维流形X，并且可以定义X的拓扑不变量hc(X)。今年的主要研究成果是证明了以下方程，该方程表示当“周长与球面的直积 S^1xS^2”的连通和与 X 相加时 hc 如何变化。 :hc(X# 2S^1xS^2)=hc(X)+1。将该方程与Sakai先生之前的研究相结合，hc(X)的计算就归结为计算有理同调3球面Y的hc(Y)和hc(Y#S^1xS^2)即可。有理同调3 最基本的球面是透镜空间L(p,q)，在去年的研究中我们证明了方程hc(L(p,q))=1，并且作为该系统的一个系统， hc(L(p,q)#S^1xS^2)的计算也已经完成。通过将这些结果与今年的结果相结合，我们成功地完全确定了当一阶同调群的扭曲子群是循环群时的hc(X)。关于 hc(X) 的计算，包括扭曲情况在内的多种情况都没有已知的计算结果，因此这是向前迈出的一大步。我们还研究了与hc(X)密切相关的同源纤维结，并利用亚历山大多项式为有理同源3域中的零同源结成为同源纤维结提供了充要条件。