反応拡散系の特異極限と自由境界問題の数理構造の解明

反应扩散系统的奇异极限和自由边界问题的数学结构的阐明

• 批准号: 16J07001
• 负责人: 物部 治徳
• 金额: $ 2.08万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J07001/
• 关键词: 急速反応極限; 自由境界問題

本研究では、非対称な反応項を持つ反応拡散方程式系の急速反応極限を考察した。急速反応極限とは、反応拡散方程式系に含まれる反応項の反応率を十分大きくすることであり、例えば、ロトカ・ボルテラ方程式では競争率を大きくすることで、二相Stefan問題が出現することがHilhorst氏や三村氏、飯田氏などにより報告されている。同様に、他の反応拡散方程式においても、界面方程式や自由境界問題が出現することが確認されている。一方で、この手法はStefan問題や多孔質媒体流方程式など、自由境界問題の数値計算への応用として扱われていることが、中木氏、村川氏などにより報告されている。しかしながら、これらの研究結果の多くは、反応項にある対称性が解析をする上で重要な役割を担っているため、非対称な反応項をもつ反応拡散方程式系では解析が技術的に困難であることが予想されていた。本研究では、反応項が多項式で表される二成分の反応拡散方程式系を考え、その多項式の非対称性によって縮約方程式がどのように現れるかを解析した。この結果、多項式の指数の組み合わせによって、一相Stefan問題に収束する場合、ノイマン境界条件の熱方程式に収束する場合、ディリクレ境界条件の熱方程式に収束する場合、があることを確認した。この結果は、Journal of Differential Equations に投稿し、アクセプトされた。今後は、この研究結果をより一般的な反応項に対しても応用出来ないか検討して行く。

在本研究中，我们考虑了具有不对称反应项的反应扩散方程组的快速反应极限。快速反应极限是使反应扩散方程组中包含的反应项的反应速率足够大。例如，在Lotka-Volterra方程中，通过提高竞争速率，可以防止出现两相Stefan问题已被Hilhorst先生、Mimura先生、Iida先生等报道过。同样，已经证实界面方程和自由边界问题也出现在其他反应扩散方程中。另一方面，Nakagi先生、Murakawa先生等人报道了该方法正在应用于Stefan问题和多孔介质流动方程等自由边界问题的数值计算。然而，在许多这些研究结果中，反应项的对称性在分析中起着重要作用，因此在具有不对称反应项的反应扩散方程系统中进行分析在技术上是困难的。在本研究中，我们考虑了一个二元反应扩散方程组，其中反应项由多项式表示，并分析了由于多项式的不对称性而导致的简化方程是如何出现的。结果，确认了根据多项式指数的组合，存在问题收敛于一相Stefan问题的情况、收敛于具有诺伊曼边界条件的热方程的情况以及收敛于具有诺依曼边界条件的热方程的情况。它收敛到具有狄利克雷边界条件的热方程。该结果提交给微分方程杂志并被接受。未来，我们将考虑这项研究的结果是否可以应用于更一般的反应项。

项目成果

Vanishing, moving and immovable interfaces in fast reaction limits

快速反应极限内的消失、移动和不动界面

• DOI: 10.1016/j.jde.2017.04.009
• 发表时间: 2017
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: M. Iida;H. Monobe;H. Murakawa and H. Ninomiya
• 通讯作者: H. Murakawa and H. Ninomiya