Ｈｅｓｓｅｎｂｅｒｇ多様体の幾何に現れる表現論と可積分系

Hessenberg流形几何中出现的表示论和可积系统

• 批准号: 16J04761
• 负责人: 阿部 拓
• 金额: $ 1.33万
• 依托单位: Osaka Prefecture University (2018)Osaka City University (2016-2017)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J04761/
• 关键词: Hessenberg多様体; ファノ多様体; 弱ファノ多様体; 局所完全交差; 構造層; コホモロジー; 平坦退化; コホモロジー環; 体積多項式; Newton-Okounkov体

平成30年度は，Hessenberg多様体の代数幾何学的な性質について，華中科技大学の曽昊智氏と東京工業大学の藤田直樹氏と共同研究を行った．Regular semisimple Hessenberg多様体は滑らかな代数多様体であり，特別な場合として旗多様体や，ルート系に付随するトーリック多様体を実現するものである．旗多様体はファノ多様体であり，ルート系に付随するトーリック多様体は（ファノ多様体ではないが）弱ファノ多様体である．そこで，regular semisimple Hessenberg多様体がいつ弱ファノ多様体であるかという問題が自然に生じる．一般に，滑らかな代数多様体が弱ファノであるとは，その反標準因子がnefかつbigであることをいう．Hessenberg関数hから定まるregular semisimple Hessenberg多様体をX(h)と書くとき，X(h)の反標準因子がnefであるための必要十分条件はHessenberg関数hの言葉で明示的に表すことができる．反標準因子がbigであることを判定するのは一般に容易ではないが，我々は次の結果を得た．すなわち，hが狭義単調増加の場合，X(h)の反標準因子がnefならばそれはnefかつbigである（すなわちX(h)は弱ファノ多様体である）．狭義単調増加なHessenberg関数は，X(h)が旗多様体やルート系に付随するトーリック多様体になる場合を含むので，この結果は上述の事実を一般化するものである．弱ファノ多様体については，その上の豊富な直線束の高次コホモロジーが消滅しており，X(h)の幾何に様々な応用が期待される．我々は，この主張はhが狭義単調増加でなくても成り立つと予想しており，今後の課題としてより一般のケースの証明に挑んでいきたい．

2018年，我们与华中科技大学曾浩志老师、东京工业大学藤田直树老师共同开展了Hessenberg流形代数几何性质的研究。正则半简单 Hessenberg 流形是光滑代数簇，作为特殊情况，它实现了与根系统相关的旗形簇和复曲面簇。旗形品种是法诺品种，与根系相关的复曲面品种是弱法诺品种（尽管它不是法诺品种）。因此，当正则半简单 Hessenberg 簇是弱 Fano 簇时，自然会出现问题。一般来说，如果一个光滑代数簇的反标准除数是 nef 且很大，那么它就是弱 Fano。当由 Hessenberg 函数 h 确定的正则半简单 Hessenberg 流形写为 X(h) 时，X(h) 的反标因子为 nef 的充要条件可以用 Hessenberg 函数 h 明确表示。 ．虽然一般不容易判断反标因子是否大，但我们得到了以下结果。也就是说，当h严格单调递增时，如果X(h)的反正规因数为nef，则它是nef且大（即X(h)是弱Fano簇）。这个结果概括了上述事实，因为严格单调递增的 Hessenberg 函数包括 X(h) 成为附着于根系统的旗形变体或复曲面变体的情况。对于弱 Fano 流形，其上丰富的线丛高阶上同调消失，并且在 X(h) 的几何中预计有各种应用。我们期望即使 h 不是严格单调递增，这个论点也成立，并且我们希望在未来的工作中尝试在更一般的情况下证明它。

项目成果

Hessenberg varieties for the minimal nilpotent orbit

最小幂零轨道的 Hessenberg 簇

• 发表时间: 2017
• 期刊: Pure Appl. Math. Q.
• 作者: Hiraku Abe;Lauren DeDieu;Federico Galetto;Megumi Harada;Hiraku Abe and Peter Crooks
• 通讯作者: Hiraku Abe and Peter Crooks

On flat degenerations of regular semisimple Hessenberg varieties

正则半简单 Hessenberg 簇的平坦退化

• 发表时间: 2016
• 作者: Hiraku Abe;Lauren DeDieu;Federico Galetto;Megumi Harada;Hiraku Abe and Peter Crooks;Hiraku Abe and Tatsuya Horiguchi;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe;阿部拓;阿部拓;Hiraku Abe;阿部拓;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe;Hiraku Abe;Hiraku Abe;Hiraku Abe
• 通讯作者: Hiraku Abe

正則ヘッセンバーグ多様体の幾何学

正则 Hessenberg 流形的几何

• 发表时间: 2018
• 作者: Hiraku Abe;Lauren DeDieu;Federico Galetto;Megumi Harada;Hiraku Abe and Peter Crooks;Hiraku Abe and Tatsuya Horiguchi;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe;阿部拓
• 通讯作者: 阿部拓

A Weyl character formula for Hessenberg varieties

Hessenberg品种的Weyl特征公式

• 发表时间: 2016
• 作者: Hiraku Abe;Lauren DeDieu;Federico Galetto;Megumi Harada;Hiraku Abe and Peter Crooks;Hiraku Abe and Tatsuya Horiguchi;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe;阿部拓;阿部拓;Hiraku Abe;阿部拓;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe;Hiraku Abe;Hiraku Abe
• 通讯作者: Hiraku Abe

Topics in recent developments on Hessenberg varieties

Hessenberg 品种的最新发展主题

• 发表时间: 2018
• 作者: Hiraku Abe;Lauren DeDieu;Federico Galetto;Megumi Harada;Hiraku Abe and Peter Crooks;Hiraku Abe and Tatsuya Horiguchi;阿部拓;Hiraku Abe;Hiraku Abe
• 通讯作者: Hiraku Abe