グレブナー基底及び格子を用いた商特異点の特異点解消に関する研究

基于Gröbner基和格的商奇点奇异性消解研究

• 批准号: 09J06922
• 负责人: 関谷 雄飛
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J06922/
• 关键词: 商特異点; 特異点解消; マッカイ対応; モジュライ空間; 捩れ群環; 傾理論

本研究の目的は、代数多様体上の商特異点の特異点解消に関する研究である。特異点解消の存在性、特にゴレンシュタイン商特異点に対するクレパント解消の存在性などは他分野とも関連して重要な問題である。3次元以下のゴレンシュタイン商特異点の場合には、伊藤-中村により導入されたG-ヒルベルトスキームという空間を考えればよかったが、一般にはG-ヒルベルトスキームの性質はよく知られていかい。そこで、グレブナー基底や格子など計算機で計算可能な道具を用いて、その性質を調べた。その際、Warwick大学やGlasgow大学を訪れReid氏、Craw氏などと情報交換を行った。その結果、既約でないための十分条件を与え、例をいくつか構成することができた。しかし、非特異性、クレパント性などに関しては結果を得ることはできなかった。そこで、近年、急速に発展しつつある多元環の表現論を用いることにした。非可換環と代数多様体の関係については、Van den Berghによる非可換クレパント解消と呼ばれる非可換環が重要な役割を果たす。従来の代数幾何では(可換)環から多様体が構成されるが、ここでは非可換環からGIT商として多様体が構成される。特に、GIT商とクレパント解消の関係が重要であり、3次元の可換群の場合にはCraw-石井により調べられている。3次元の非可換群の場合への拡張を目標とし、山浦浩太氏と共同で、まずは2次元の場合に、GIT商と非可換クレパント解消(前射影代数)の傾理論に関する研究を行い、その関係を明らかにした。さらにこの結果を高次元のカラビ-ヤウ代数の場合に一般化し、商特異点上のクラスター傾加群とクレパント解消の対応に関する研究を行った。非可換環と代数多様体の関係については今後益々の発展が期待できる。

本研究的目的是研究代数簇上商奇异性的奇异性消解。奇点消解的存在，特别是Gorenstein商奇点的crepant消解的存在，是一个与其他领域相关的重要问题。在维度小于三的 Gorenstein 商奇点的情况下，考虑 Ito-Nakamura 引入的称为 G-Hilbert 格式的空间就足够了，但 G-Hilbert 格式的属性通常并不为人所知。因此，我们使用可以使用计算机计算的工具（例如格罗布纳基和格）研究了其性质。当时，他访问了华威大学和格拉斯哥大学，并与里德先生、克劳先生等人进行了信息交流。因此，我们能够为不可约性提供充分的条件并构造几个例子。然而，无法获得关于非特异性、起皱特性等的结果。因此，我决定使用近年来发展迅速的多维环表示理论。关于非交换环和代数簇之间的关系，范登伯格（Van den Bergh）称为非交换 Crepant 消解的非交换环发挥着重要作用。在传统的代数几何中，流形是由（交换）环构造的，但这里流形是由非交换环构造为 GIT 商的。特别是，GIT 商和 Crepant 分辨率之间的关系很重要，Craw-Ishii 已在三维交换群的情况下对其进行了研究。为了将其扩展到三维非交换群的情况，我们与 Kota Yamaura 合作，首先对二维情况下的 GIT 商和非交换 Crepant 分辨率（预投影代数）的倾斜理论进行了研究，揭示了这一点。的关系。此外，我们将这一结果推广到高维 Calabi-Yau 代数的情况，并对商奇点和 Crepant 分辨率上的簇梯度群之间的对应关系进行了研究。非交换环和代数簇之间的关系在未来有望得到进一步的发展。