不連続Galerkin法による偏微分方程式の数値解析の研究

偏微分方程间断伽辽金法数值分析研究

• 批准号: 09J05654
• 负责人: 及川 一誠
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J05654/
• 关键词: 有限要素法; 不連続ガレルキン法; 数値解析; ハイブリッド法

本年度は主に、『ハイブリッド型不連続ガレルキン法(Hybridized Discontinuous Galerkin Method)』による一階線形変微分方程式並びに定常移流拡散方程式の新しい近似スキームの考案と、その新スキームの数学的な理論解析を行った。まず初めに、移流項が定数係数の場合に関して、各要素境界を風上と風下の2種類に分けることにより、近似スキームを作成することに成功した。次に、理論的により扱い安いようにしようと、新たに上流化のテクニックを導入し、そのスキームをより一般的なスキーム仕上げた。その結果、移流項の係数が、変数係数の場合にも適用できるように拡張することにも成功した。新スキームの近似解がきちんと厳密解にメッシュサイズを0に近づけたときに漸近的に収束することと、近似解の安定性の二点について、数学理論的な考察・証明も与えることができた。具体的には、新スキームの有界性・整合性・強圧性(coercivity)の三性質と、最良近似性の4つを証明した。また、実際に計算機を用いて、新スキームの数値計算をさまざまな例を対して実施した。それにより、(1)CG法・BiCG法・BiCGSTAB法などの、主要な連立一次方程式の反復法で実際に解き得ること、(2)近似解と厳密解との誤差の収束オーダーが自身が示した理論と一致すること、(3)従来の有限要素法と比べて近似解の安定性がかなり向上していることが確認できた。本研究で移流項の近似スキームが得られたことにより、Navier-Stokes問題などの流体問題にハイブリッド型不連続ガレルキン法の適用が可能になったこという点で、非常に有意義な結果が得られたと言える。

今年，我们主要利用“混合间断伽辽金法”设计了一阶线性变量微分方程和稳态平流扩散方程的新近似格式，并对新格式Ta进行了数学理论分析。首先，对于平流项为常数系数的情况，我们通过将每个单元边界分为两种类型：上风向和背风向，成功地创建了近似方案。接下来，我们引入了一种新的上游技术，使该方案理论上使用起来更便宜，并将该方案细化为更通用的方案。结果，我们成功地扩展了平流项的系数，以便它们也可以应用于可变系数。我们还能够提供关于两点的数学理论考虑和证明：当网格尺寸接近0时，新方案的近似解渐近收敛于精确解，并且近似解是稳定的。具体来说，我们证明了新方案的三个属性：有界性、一致性、矫顽力和四个属性：最佳近似。另外，我们实际上用计算机对各种例子进行了新方案的数值计算。结果，（1）实际上可以使用联立线性方程组的主要迭代方法（例如 CG 方法、BiCG 方法和 BiCGSTAB 方法）来求解，以及（2）近似解与近似解之间的误差收敛的顺序(3)经证实，与传统的有限元方法相比，近似解的稳定性得到了显着提高。通过在本研究中获得平流项的近似方案，我们获得了非常重要的结果，可以说，将混合间断伽辽金方法应用于诸如纳维-斯托克斯问题之类的流体问题成为可能。

项目成果

Hybridized Discontinuous Galerkin Method with Lifting Operator

带提升算子的混合间断伽辽金法

• 发表时间: 2010
• 影响因子: 0.4
• 作者: OIKAWA; Issei
• 通讯作者: Issei

移流拡散方程式に対するハイブリッド型不連続Gakerin法

平流扩散方程的混合不连续 Gakerin 方法

• 发表时间: 2010
• 作者: 及川; 一誠
• 通讯作者: 一誠