結び目の４次元多様体における種数の研究

四维纽流形中属的研究

基本信息

批准号：
15J10597
负责人：
佐藤光樹
金额：
$ 1.75万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J10597/
关键词：
結び目 4次元多様体 Heegaard Floer ホモロジー

项目摘要

昨年度までの成果を踏まえ、本年度も引き続きｄ不変量の性質解明に注力した。その中で、Hom氏が導入した結び目の「ν+同値類」について成果が得られた。このν+同値類は強力なコンコーダンス不変量で、ν+同値類を決定することでd，ν+，Vk各不変量は計算可能となる。本年度の一つ目の成果は、このν+同値類の間に自然な部分順序を導入し、その応用として種数１の結び目のν＋同値類が3種類しかないことを証明したことである。この結果は代数的な考察のみからは得られないことも確かめられており、具体的な多様体を構成する本研究のアプローチならではの成果と言える。本成果は、韓国で開催された国際研究集会「The 13th East Asian School of Knots and Related Topics」等において発表した。また一方で、本年度は本研究の関連研究における最新の成果にも目を向け、結び目の2重分岐被覆に関する研究にも着手した。特に、Stanislav Jabuka氏, Tynan Kelly氏が交点数の小さな結び目に関してγ[S4](K)を決定したことを受け、本研究への応用を見据えて彼らの研究手法を分析した。その成果として、交代結び目の一般化である4次元交代結び目を定式化し、「擬交代結び目ならば4次元交代結び目であることの証明」、「交点数が10以下の全ての4次元交代結び目の決定」に成功した。特に、擬交代結び目は整数値不変量によって帰納的に定義される概念であり、その幾何的な性質はほとんど明らかにされていなかったため、本成果により擬交代結び目の一つの幾何的性質が見出されたことは意義深い。本成果は山形大学で開催されえた研究集会「東北結び目セミナー2017」にて発表した。

考虑到直到去年的结果，我们继续专注于今年阐明D-Invariants的性质。其中，HOM引入的结“ν+等效类别”获得了结果。这个ν+等价类是一个强大的一致性不变性，通过确定ν+等价类，可以计算不变的d，ν+和vk。今年的第一个结果是，我们在这些ν+等价类别之间引入了自然部分秩序，作为一种应用，我们证明，1种的结只有三种类型的ν+等效类。还可以证实，这些结果不能仅凭代数考虑，并且可以说是这种研究方法的结果，该方法构成了混凝土歧管。这些结果是在韩国举行的国际研究会议上介绍的。另一方面，今年我们还研究了这项研究中相关研究的最新结果，并开始研究结的双支涂层。特别是，在Stanislav Jabuka和Tynan Kelly对γ[s4]（K）决定的结与小交点的结中后，他们分析了他们的研究方法，以关注该研究的应用。结果，我们制定了一个四维的互换结，互换结的概括，并成功地“证明了伪变换结是一个四维的互换结”，并“确定所有四维互换结，与以下的交叉点低于10。”尤其是，伪端结是由整数值不变的概念，它们的几何特性几乎没有被阐明，因此该结果揭示了伪端结的单个几何特性是有意义的。这些结果在2017年的Toohoku结节研讨会上介绍，该研讨会可以在Yamagata University举行。