K3曲面の自己同型群と周期の研究と格子理論

K3面自同构群和周期与晶格理论的研究

基本信息

批准号：
08J56181
负责人：
橋本健治
金额：
$ 1.15万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

K3曲面への有限群によるシンプレクティック作用について研究した。特に、シンプレクティック作用が引き起こすK3曲面の2次コホモロジー(K3格子)への作用について具体的な結果を得た。(1)有限群がアーベル群の場合、シンプレクティック作用が引き起こすK3格子への作用が同型を除き本質的に一意であることは既に知られていた。そこで、有限群が非アーベル群の場合にもこの一意性が成立するかどうかが問題となる。本年度の研究で、5つの例外的な群を除き、この一意性が非アーベル群の場合にも成立することを証明することができた。また、このK3格子への作用について具体的な研究を行った。特に、不変部分格子の交点行列を具体的に決定した。(2)極大有限シンプレクティック作用について前年度に引き続き研究した。(極大な)群Gを固定すると、Gがシンプレクティックに作用する次数dの偏極K3曲面が一意に定まる場合がある。このようなGとdの組について研究した。(1)の研究によって、不変部分格子の自己同型が(Gが極大な場合は)K3格子全体に延長できることがわかっている。ここから、問題は不変部分格子の研究に帰着されることがわかる。dを全て(有限個)求めるには、ジーゲル・ミンコフスキーの定理より、あるL関数の特殊値の評価が重要である。虚2次体についての知られている結果を応用することで、この特殊値についてのよい評価を得ることができるので、(上述の一意性が成立するような)dのリストを作ることができる。この方法で、ある群G=A_4,4について、実際にdのリストを作った。

我们研究了 K3 曲面上有限群的辛作用。特别是，我们获得了关于辛作用对 K3 表面的二阶上同调（K3 晶格）影响的具体结果。 (1) 当有限群为阿贝尔群时，已知辛作用对K3晶格的作用除同构外本质上是唯一的。因此，问题是即使有限群是非阿贝尔群，这种唯一性是否也成立。在今年的研究中，我们能够证明这种独特性适用于非阿贝尔群（五个特殊群除外）。我们还针对K3晶格的这种效应进行了具体研究。特别是，我们专门确定了不变子晶格的交集矩阵。 (2)我们继续研究前一年的最大有限辛作用。当（最大）群G固定时，可以唯一地确定G辛作用的d阶偏振K3面。我们研究了这样的 G 和 d 对。 (1)的研究表明，不变子晶格的自同构可以扩展到整个K3晶格（如果G最大）。由此可见，问题归结为不变子格的研究。为了找到所有（有限数量的）d，根据西格尔-闵可夫斯基定理评估某个 L 函数的特殊值非常重要。通过应用虚数二次域的已知结果，我们可以获得这个特殊值的良好估计，因此我们可以创建 d 的列表（使得上述唯一性成立）。使用这种方法，我实际上为某个组 G=A_4,4 创建了一个 d 的列表。